Algebra



Utgave av Arithmetica 
Diofant s lærebok

Al-Khwarizmi  
(800 - 850)
,



Ludovicio Ferrari 





Carl Friedrich Gauss - 






Joseph Louis Lagrange - 





Paolo Ruffini 





Niels Henrik Abel - 






Evariste Galois 






Takakazu Seki - 





Carl Gustaf Jacobi 




Karl Weierstrass -





Sophus Lie - 





 

If you are faced by a difficulty or a controversy in science, an ounce of algebra is worth a ton of verbal argument.                                                        J.B.S. Haldane  1892-1964)

Ligningsteorien

Vi møter algebra som en gren innenfor matematikk som særlig behandler regneoperasjoner på uttrykk og ligninger der størrelser er representer ved symboler. I moderne tid har ordet algebra også fått en mer spesialisert betydning i det vi med en algebra forstår et par binære operasjoner definert på en gitt mengde. 

Algebra er en svært gammel disiplin og ble trolig utviklet i i forbindelse med løsning av ligninger og har helt siden den gang og inntil relativt moderne tid vært nært knyttet til ligningsløsning. Allerede babylonerne løste ligninger som selskapslek, sannsynligvis ved å bruke det vi kaller inversjon. Men vi vet også at babylonerne utviklet algebraiske systemer og løste ligninger av første og annen grad. De løste også ligninger av en type som senere skulle hete Diofantiske ligninger.

Den såkalte Rhind Papyrus eller Ahmes regnebok fra 1650 f Kr, som er gjengitt på seksjonens hjemmeside, inneholder 85 problemer i en hieroglyf lignende skrift. Dokumentet er oppkalt etter mannen som i sin tid kjøpte papyrusen i 1858. Oldtidens algebra var ikke symbolsk som vår, men rent verbal - og man formulerte løsningen tilsvarende.

Indisk matematikk var i tidlige tider knyttet til religiøse skoler. En av disse var Jaininismen. Vi nevner én av disse Aryabhata I (476-550). Vi merker oss at ligningsløsning her bl a var knyttet til bestemmelse av perioder for planetene – dvs astronomi. Matematikere fra denne skolen arbeidet ved siden av geometri og tallteori med ligninger av første og annen grad, permutasjoner og kombinasjoner. Kunnskapen fra Egypt, Midtøsten brakt til grekerne og derfra sammen med impulser fra India videre til den arabiske kulturen. 

Den første lærebok vi kjenner om algebra, Arithmetica, ble skrevet av Diofant fra Alexandria 300 e.Kr. Denne boken omhandler løsning av algebraiske ligninger og tallteori. Boken inneholder 150 algebraiske ligninger og løsninger. For øvrig vet vi lite om Diofant selv. En bestemt type ligningen, diofantiske ligninger, har fått navn etter ham. Han og hans samtidige bysbarn Hero er de to store algebraikere fra den greske perioden.

Ordet algebra er av arabisk opprinnelse og er en forvanskning av al-jabr som nærmest kan oversettes med å samle eller føre sammen splittede deler, et begrep som tilskrives matematikeren Al-Khwarizmi  (800 - 850), som skrev en bok med tittel Hisab al-jabr wal-mukabala som kan oversettes med læren gjenopprettelse og reduksjon - to forenklingsteknikker for ligningsløsning . Gjennom denne boken ble datidens teknikker for ligningsløsning spredt blant de lærde. Al-Khwarizmi s navn er også knyttet til to andre begreper Algorisme, det arabiske tallsystemet , og Algoritme, en beskrivelse av en regneteknikk som løser et bestemt problem.

I hele den første fasen manglet algebraen det symbolverktøyet vi rår over i dag. Den var verbal og selv om matematikerne hadde begrepene, varte det flere hundre år før en mer moderne notasjon ble innført. En av pionerene her var de franske matematikerne François Viète (1540-1603) og Rene Descartes (1596-1650) som innførte bokstaver for kjente, a, b, c, og for ukjente størrelser, x, y, z.  René Descartes bok om algebra fra 1650 minner derfor ikke så lite om en moderne bok.

Tidlig på 16 tallet løste de italienske matematikerne Scipione del Ferro (1465-1526), Niccolò Tartaglia (1499-1557)og Girolamo Cardano (1501-1576) tredjegrads ligningen og Cardanos student Ludovico Ferrari fant løsningen på fjerdegradsligningen. I flere hundreår senere forsøkte matematikere å finne løsningen på femtegradsligningen.

Ved århundreskiftet fremla den store tyske Carl Friedrich Gauss  (1777-1855) allerede i sin doktoravhandling det såkalte algebraens fundamentalteorem der han viser at en ligning av n-te grad har n røtter.

Nye tanker - permutasjoner og grupper.

 Franskmannen Joseph Louis Lagrange (1736-1813) utga i 1770 sitt verk Réflexions sur la résolution algébrique des équations der han klarlegger hvorfor ligninger opp til 4 grad lar seg løse. Blant annet studerer han permutasjoner av løsningene (røttene), og la på denne måten grunnen for et arbeid som senere munne ut i gruppeteorien.

Italieneren Paolo Ruffini (1765-1822) forsøkte omkring århundreskiftet å bevise at ligninger av høyere grad en fjerde ikke lar seg løse ved rottegn. Han angrep dette problemet ved en tankegang som minner mye om den Galois senere anvendte.

Det skulle imidlertid bli den norske Niels Henrik Abel (1802-1829) som i 1822 ga et fullstendig bevis for at ligninger av femte grad generelt ikke kan løses ved rottegn. Abel arbeidet videre for å klarlegge hvilke klasser av ligninger som lar seg løse. Imidlertid skulle andre felter – spesielt de elliptiske funksjonene legge beslag på Abels oppmerksomhet.

Franskmannen Augustin Lous Cauchy (1789-1857) var en av de få som så poenget ved Ruffinis angreps­måte og han utga omkring 1815 et verk om permutasjonsgrupper der han generaliserer noen av Ruffinis resultater.

Den franske tenåringen Evariste Galois (1811-1832) bygget videre på arbeidene til Abel, Cauchy og Lagrange og utviklet den såkalte gruppeteori som i dag har gjennomvevet matematikken. Galois arbeidet også med integralligninger.

Algebraen som selvstendig vitenskap

 Fra nå av løsriver algebraen seg fra ligningsteorien som med Abels og Galois arbeider på et vis var sluttført. Nye begreper som idealer og ringer, tallkropper osv, fikk anvendelser langt utover ligningsteorien, som til slutt bare ble en del av algebraen.

Parallelt med fremveksten av gruppeteorien  etablerte den irske matematiker William Rowan Hamilton (1805-1865) teorien om quaternioner. Tyskeren Hermann Grassmann (1809-1877) og briten J W Gibbs (1839-1903)- utviklet en algebra for vektorer. Etter hvert vokste nå algebraen ut over ligningsteorien og nye begreper ble skapt - grupper, transformasjoner, ringer, idealer, tallkroppper, vektorrom, osv.

Matriser og determinanter

Andre og tidligere kulturer enn den europeiske hadde beskjeftiget seg med lineære ligningssett. Vi vet at allerede babylonerne arbeidet med dette omkring 300 f.Kr. Vi regner imidlertid at den moderne utvikling startet med Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) i 1683 i en korrespondanse med l'Hospital i 1683. Da hadde Girolamo Cardano tidligere angitt en regel for løsning av 2-dimen­sjonalt sett og Johan de Witt (1625-1672) vist en todimensjonal transformasjon i et arbeid om geometri. Leibniz tar også for første gang i bruk det vi i dag kaller determinanten til et ligningssett.

Vi skal imidlertid være klar over at den japanske matematikeren Takakazu Seki (1642 - 1708) på nøyaktig samme tidspunkt utarbeidet en teori for løsning av ligningssett som involverer begrepene matrise og determinant.

Skotten Colin Maclaurin (1698-1746) og sveitseren Gabriel Cramer (1704-1752), den siste knyttet til regelen som har fått navn etter ham, bidro videre til teorien for lineære ligningssystemer sammen med franskmannen Alexandre-Theophile Vandermonde  (1735-1796). Franskmennene Pierre Simon Laplace (1749-1827) og Joseph Louis Lagrange (1736-1813) benyttet begge lineære ligningssystemer i celest mekanikk. Igjen et eksempel på hvordan fysikken har stimulert matematikk til nye fremskritt.

Den tidligere nevnte Carl Friedrich Gauss  benyttet også tilsvarende matematikk i astronomiske beregninger og det er fra ham vi har eliminasjonsmetoden som bære hans navn. Gauss var ogå den første som brukte termen determinant, om enn ikke helt i samme betydning som i dag.

Vi har allerede nevnt Augustin Louis Cauchy. Han ytet store bidrag til teorien for lineær algebra, bl a knyttet til egenverdier, diagonalisering av matriser og symmetriske matriser. Cauchy er ellers kjent for å sitt krav til streng bevisførsel og i likhet med sine landsmenn Laplace og Lagrange arbeidet han med problemstillinger fra fysikk.

Med de tyske matematikerne Carl Gustav Jacobi (1804-1851), Leopond Kronecker (1823-1891) og Karl Weierstrass (1815-1897) tar utviklingen en ny vending. I verket De determinantibus functionalibus (1841) arbeider Jacobi med funksjoner i stedet for tall. Ideen med funksjonaldeterminanter var for så vidt ikke ny, i det allerede Cauchy hadde arbeidet med den determinanten som nå bærer Jacobi s navn.

For øvrig er den engelske James Joseph Sylvester (1814-1897) den første som innfører termen matrise. Han inspirerte sin landsmann Arthur Cayley (1821-1895) som i 1858 utga Memoir on the theory of matrices, der han etablerer matriseregningen på algebraisk basis. Hans navn er ellers knyttet til Cayley-Hamilton s teorem, selv om det for øvrig er den tyske Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917)som beviste dette i sin generelle form.   

Med Kronecker og Weierstrass' arbeider rundt århundreskriftet regner man at den moderne teorien for determinanter var etablert. Vi skal til slutt legge til at vår ande store matematiker ved siden av Abel, Sophus Lie (1842-1899) utviklet sin teori om kontinuerlige transformasjonsgrupper i tiden 1870 - 1890. Lie-gruppe og Lie-algebraer er sterkt knyttet til studiet av differensialligninger og partielle differensialligninger som igjen har sin opprinnelse i problemer fra anvendt matematikk.

Moderne algebra handler nå ikke lenger bare om tall, men vektorer, matriser, avbildninger, funksjoner osv - slik at den på en måte gjennomvever alle matematiske disipliner.




 

 

 

 


 

 

 

 

Opp Algebra Didaktikk Funksjoner Geometri Modeller Statistikk