If
you are faced by a difficulty or a controversy in science, an ounce of
algebra is worth a ton of verbal argument.
J.B.S. Haldane 1892-1964)
Ligningsteorien
Vi møter algebra
som en gren innenfor matematikk som særlig behandler regneoperasjoner på
uttrykk og ligninger der størrelser er representer ved symboler. I
moderne tid har ordet algebra også fått en mer spesialisert betydning i
det vi med en algebra forstår et par binære operasjoner definert på en
gitt mengde.
Algebra er en svært gammel disiplin og ble trolig utviklet i i
forbindelse med løsning av ligninger og har helt siden den gang og inntil
relativt moderne tid vært nært knyttet til ligningsløsning. Allerede
babylonerne løste ligninger som selskapslek, sannsynligvis ved å bruke
det vi kaller inversjon. Men vi vet også at babylonerne utviklet
algebraiske systemer og løste ligninger av første og annen grad. De løste
også ligninger av en type som senere skulle hete Diofantiske ligninger.
Den såkalte Rhind Papyrus eller Ahmes regnebok fra 1650 f Kr, som
er gjengitt på seksjonens hjemmeside, inneholder 85 problemer i en
hieroglyf lignende skrift. Dokumentet er oppkalt etter mannen som i sin
tid kjøpte papyrusen i 1858. Oldtidens algebra var ikke symbolsk som vår,
men rent verbal - og man formulerte løsningen tilsvarende.
Indisk matematikk var i tidlige tider knyttet til religiøse skoler. En av
disse var Jaininismen. Vi nevner én av disse Aryabhata I
(476-550). Vi merker oss at ligningsløsning her bl a var knyttet til
bestemmelse av perioder for planetene – dvs astronomi. Matematikere fra
denne skolen arbeidet ved siden av geometri og tallteori med ligninger av
første og annen grad, permutasjoner og kombinasjoner. Kunnskapen fra
Egypt, Midtøsten brakt til grekerne og derfra sammen med impulser fra
India videre til den arabiske kulturen.
Den første lærebok vi kjenner om algebra,
Arithmetica, ble skrevet av Diofant
fra Alexandria 300 e.Kr. Denne boken omhandler løsning av
algebraiske ligninger og tallteori. Boken inneholder 150 algebraiske
ligninger og løsninger. For øvrig vet vi lite om Diofant selv. En
bestemt type ligningen, diofantiske ligninger, har fått navn etter ham.
Han og hans samtidige bysbarn Hero er de to store algebraikere fra den
greske perioden.
Ordet algebra er av arabisk opprinnelse og er en forvanskning av al-jabr
som nærmest kan oversettes med å samle eller føre sammen splittede
deler, et begrep som tilskrives matematikeren Al-Khwarizmi
(800 - 850),
som skrev en bok med tittel Hisab al-jabr wal-mukabala som
kan oversettes med læren gjenopprettelse og reduksjon - to
forenklingsteknikker for ligningsløsning . Gjennom denne boken ble
datidens teknikker for ligningsløsning spredt blant de lærde. Al-Khwarizmi
s navn er også knyttet til to andre
begreper Algorisme, det arabiske
tallsystemet , og Algoritme, en
beskrivelse av en regneteknikk som løser et bestemt problem.
I hele den første fasen manglet algebraen det symbolverktøyet
vi rår over i dag. Den var verbal og selv om matematikerne hadde
begrepene, varte det flere hundre år før en mer moderne notasjon ble
innført. En av pionerene her var de franske matematikerne François
Viète (1540-1603) og Rene Descartes (1596-1650) som
innførte bokstaver for kjente, a, b, c, og for ukjente størrelser, x, y, z. René
Descartes bok om algebra fra 1650 minner derfor ikke så lite om en
moderne bok.
Tidlig
på 16 tallet løste de italienske matematikerne Scipione del Ferro
(1465-1526), Niccolò Tartaglia (1499-1557)og Girolamo
Cardano (1501-1576) tredjegrads ligningen og Cardanos student Ludovico
Ferrari fant løsningen på fjerdegradsligningen. I flere hundreår
senere forsøkte matematikere å finne løsningen på femtegradsligningen.
Ved
århundreskiftet fremla den store tyske Carl Friedrich Gauss
(1777-1855) allerede i sin
doktoravhandling det såkalte algebraens fundamentalteorem der han viser
at en ligning av n-te grad har n røtter.
Nye tanker -
permutasjoner og grupper.
Franskmannen
Joseph Louis Lagrange (1736-1813) utga i 1770 sitt verk Réflexions
sur la résolution algébrique des équations der han klarlegger
hvorfor ligninger opp til 4 grad lar seg løse. Blant annet studerer han
permutasjoner av løsningene (røttene), og la på denne måten grunnen
for et arbeid som senere munne ut i gruppeteorien.
Italieneren
Paolo Ruffini (1765-1822) forsøkte omkring århundreskiftet
å bevise at ligninger av høyere grad en fjerde ikke lar seg løse ved
rottegn. Han angrep dette problemet ved en tankegang som minner mye om den
Galois senere anvendte.
Det
skulle imidlertid bli den norske Niels Henrik Abel
(1802-1829) som i 1822 ga et fullstendig bevis for at ligninger av femte
grad generelt ikke kan løses ved rottegn. Abel arbeidet videre for
å klarlegge hvilke klasser av ligninger som lar seg løse. Imidlertid
skulle andre felter – spesielt de elliptiske funksjonene legge beslag på
Abels oppmerksomhet.
Franskmannen
Augustin Lous Cauchy (1789-1857) var en av de få som så
poenget ved Ruffinis angrepsmåte og han utga omkring 1815 et verk om
permutasjonsgrupper der han generaliserer noen av Ruffinis resultater.
Den
franske tenåringen Evariste Galois (1811-1832) bygget
videre på arbeidene til Abel, Cauchy og Lagrange og utviklet den såkalte
gruppeteori som i dag har gjennomvevet matematikken.
Galois arbeidet også med integralligninger.
Algebraen som selvstendig vitenskap
Fra
nå av løsriver algebraen seg fra ligningsteorien som med Abels og
Galois arbeider på et vis var sluttført. Nye begreper som idealer
og ringer, tallkropper osv, fikk anvendelser langt utover ligningsteorien,
som til slutt bare ble en del av algebraen.
Parallelt
med fremveksten av gruppeteorien etablerte
den irske matematiker William Rowan Hamilton (1805-1865) teorien om quaternioner.
Tyskeren Hermann Grassmann (1809-1877) og briten J W Gibbs
(1839-1903)- utviklet en algebra for vektorer. Etter hvert vokste nå algebraen ut over
ligningsteorien og nye begreper ble skapt - grupper,
transformasjoner, ringer, idealer, tallkroppper, vektorrom, osv.
Matriser og determinanter
Andre
og tidligere kulturer enn den europeiske hadde beskjeftiget seg med lineære
ligningssett. Vi vet at allerede babylonerne arbeidet med dette omkring
300 f.Kr. Vi regner imidlertid at den moderne utvikling startet med Gottfried
Wilhelm Leibniz (1646-1716) i 1683 i en korrespondanse med l'Hospital
i 1683. Da hadde Girolamo Cardano tidligere angitt en regel for løsning
av 2-dimensjonalt sett og Johan de Witt (1625-1672) vist
en todimensjonal transformasjon i et arbeid om geometri. Leibniz
tar også for første gang i bruk det vi i dag kaller determinanten til et
ligningssett.
Vi
skal imidlertid være klar over at den japanske matematikeren Takakazu
Seki (1642 - 1708) på nøyaktig samme tidspunkt utarbeidet en
teori for løsning av ligningssett som involverer begrepene matrise og
determinant.
Skotten
Colin Maclaurin (1698-1746) og sveitseren Gabriel
Cramer (1704-1752), den siste knyttet til regelen som har fått
navn etter ham, bidro videre til teorien for lineære ligningssystemer
sammen med franskmannen Alexandre-Theophile Vandermonde
(1735-1796). Franskmennene Pierre Simon Laplace
(1749-1827) og Joseph Louis Lagrange (1736-1813) benyttet
begge lineære ligningssystemer i celest mekanikk. Igjen et eksempel på
hvordan fysikken har stimulert matematikk til nye fremskritt.
Den tidligere nevnte Carl Friedrich Gauss benyttet også tilsvarende matematikk i astronomiske
beregninger og det er fra ham vi har eliminasjonsmetoden som bære hans
navn. Gauss var ogå den første som brukte termen determinant, om
enn ikke helt i samme betydning som i dag.
Vi har allerede nevnt Augustin Louis Cauchy. Han ytet store bidrag til teorien for
lineær algebra, bl a knyttet til egenverdier, diagonalisering av matriser
og symmetriske matriser. Cauchy er ellers kjent for å sitt krav
til streng bevisførsel og i likhet med sine landsmenn Laplace og Lagrange
arbeidet han med problemstillinger fra fysikk.
Med
de tyske matematikerne Carl Gustav Jacobi (1804-1851), Leopond
Kronecker (1823-1891) og Karl Weierstrass
(1815-1897) tar utviklingen en ny vending. I verket De
determinantibus functionalibus (1841) arbeider Jacobi med funksjoner i
stedet for tall. Ideen med funksjonaldeterminanter var for så vidt ikke
ny, i det allerede Cauchy hadde arbeidet med den determinanten som
nå bærer Jacobi s navn.
For
øvrig er den engelske James Joseph Sylvester (1814-1897)
den første som innfører termen matrise. Han inspirerte sin
landsmann Arthur Cayley (1821-1895) som i 1858 utga Memoir
on the theory of matrices, der han etablerer matriseregningen på
algebraisk basis. Hans navn er ellers knyttet til Cayley-Hamilton s
teorem, selv om det for øvrig er den tyske Ferdinand Georg
Frobenius (1849-1917)som beviste dette i sin generelle form.
Med Kronecker og Weierstrass' arbeider rundt århundreskriftet regner man
at den moderne teorien for determinanter var etablert. Vi skal til slutt
legge til at vår ande store matematiker ved siden av Abel, Sophus
Lie (1842-1899) utviklet sin teori om kontinuerlige
transformasjonsgrupper i tiden 1870 - 1890. Lie-gruppe og Lie-algebraer er
sterkt knyttet til studiet av differensialligninger og partielle
differensialligninger som igjen har sin opprinnelse i problemer fra
anvendt matematikk.
Moderne
algebra handler nå ikke lenger bare om tall, men vektorer, matriser,
avbildninger, funksjoner osv - slik at den på en måte gjennomvever alle
matematiske disipliner.
