Himmellegemers bevegelse og volumberegning.

På grunnlag av de to astronomene, den polske Nicolaus Copernicus (1473-1543) og den danske Tyge Brahe, kom den tyske astronomen Johannes Kepler (1571-1630) frem til de tre lovene som brer hans navn og som han samlet publiserte i  Epitoma astronomica Copernicae 1619. Den første loven sier at planetbanene er elliptiske - og er for så vidt en rent geometrisk betraktning på linje med astronomi inntil da. Den tredje loven gir en sammenheng mellom en planets avstand til solen og dens omløpstid.

Den andre loven gir en matematisk sammenheng mellom et gitt tidsrom og den strekningen en planet tilbakelegger i dette tidsrommet. Og det er særlig denne loven som er interessant med tanke på funksjonsaspektet. Mens astronomien tidligere beskjeftiget seg med det statiske, geometriske aspekt ved solsystemet - dvs planetbanenes form - innføres nå det dynamiske, nemlig sammenhengen mellom bevegelse og tid. I dette ligger en spire til funksjonsbetraktningen.

Kepler beskjeftiget seg også med beregning av volum av såkalte omdreiningslegemer, et arbeid som senere skulle inspirere andre matematikere.

Omtrent samtidig med Kepler virket den italienske fysikeren Galileo Galilei (1564-1642). Galilei er mest kjent for oppfinnelsen av teleskopet og sine astronomiske oppdagelser. Men han gjorde et banebrytende arbeid innenfor mekanikk. I  oppdaget han ved iakttagelser av en svingende lampe i en kirke at en pendels svingetid er uavhengig av utslaget. Og i 1605 fant han etter eksperimenter loven for legemers bevegelse på skråplan. Senere fant han også loven for fallende legemer og legemer i en ballistisk bane- eller fritt kast - ved å betrakte bevegelsen som sammensatt av en horisontal og en vertikal komponent.

Galilei formulerte loven for legemers bevegelse på skråplan ved en tabell omtrent slik: målt med like tidsrom, vil en gjenstand som glir langs et skråplan i det første tidsrom gli en bestemt strekning, i neste (like) tidsrom tre ganger strekningen, i tredje tidsrom fem ganger osv. Dette vil si at i løpet at et tidsrom glir gjenstanden en strekning, i løpet av to glir den fire, i løpet av tre glir den ni, osv - Dette vil igjen si at strekningen vokser med kvadratet av tiden.

Galilei s studenter - Evangelista Torricelli (1608-1647) og Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647) førte hans verk videre. Cavalieri er mest kjent for utviklingen av volumberegning der han på mange måter foregriper den senere integrasjonsregningen. Han bygget på Keplers arbeid fra 1653 om volumberegning av omdreiningslegemer. Kepler bygget igjen på Arkimedes utfyllingsprinsipp. Kepler og Cavalieri betraktet et volum som lagvis bygget opp av tynne flater. Torricelli skrev inngående om parabolske kastebaner og han utviklet Cavalieri s metode videre og beregnet omdreiningsvolum for tilfeller som inntil da ikke var kjent.

Den analytiske geometrien.

Allerede den franske presten Nicole d' Oresme (1323 - 1382) hadde arbeidet med en grafisk fremstilling av en størrelse som avhang av en annen, og på denne måten forutgrepet det som senere ble det kartesiske koordinatsystemet. Han innførte begreper tilsvarende vår uavhengige og  avhengige variabel, og fant den såkalte Mertonske regel om strekning ved jevn bevegelse utfra en geometrisk betraktning. Oresmes arbeider var godt kjent blant matematikerne.

Det skulle imidlertid bli de to franske matematikerne Rene Descartes (1595 - 1650) og Pierre de Fermat (1601 - 1665) som for alvor etablerte det vi kaller analytisk geometri, med innføringen av det kartesiske koordinatsystemet. Descartes utga i 1637 sin La Géométrie der kan knytter algebra og geometri sammen. På denne måten får geometriske problem en algebraisk formulering og man oppdaget nye sammenhenger mellom geometriske emner hvis dypere sammenheng man ikke var klar over tidligere.

Samme år som Descartes arbeid kom ut, offentliggjorde Fermat et tilsvarende arbeid. Fermat var opptatt av å finne ekstremalpunkter og tangenter til kurver. Det var særlig kurver og ligninger man arbeidet med på denne tiden. For å beregne tangenten til en kurve utledet man en algebraisk ligning. Metodene var imidlertid fortsatt ganske begrensede. For å finne et ekstremalpunkt utledet Fermat en pseudo- ligning med utgangspunkt i de to skjæringspunktene en kurve har med en vannrett linje. Ved å la punktene gå mot hverandre, fant han så en ligning som ga ham ekstremalpunktet. Tilsvarende teknikk anvendte han for å finne tangenter.

Descartes brukte en teknikk det han utnytter det at for en sirkel som tangerer en graf, vil radius til tangeringspunktet stå normalt på radien. Også Descartes utledet her en algebraisk ligning

Selv om disse metodene ble forfinet, var de allikevel nokså omstendelige, det skulle imidlertid bli opp til to andre matematikere å utvikle mer generelle metoder.  

Starten på infinitesimalregningen - trådene samles.

En av dem som skulle føre derivasjon og integrasjon til en foreløpig konklusjon, var den engelske fysikeren og matematikeren Isaac Newton (1642-1727).  Det ville imidlertid være urettferdig ikke å nevne Newtons lærer Isaac Barrow (1630 - 1677) som med tangentkonstruksjonene i sitt arbeide Lectiones Geometricae inspirerte sin student.

Det var tydelig en fysisk tankegang som lå til grunn for Newtons derivasjonsteknikk der en kurve ble betraktet som et legemes bane og tangenten som tilsvarer hastigheten, oppfattes som sammensatt av en x- og en y- komponent. Forholdet mellom disse er tangentens stigningstall. Hans metode med fluxioner som han innførte, bygget på at derivasjon og integrasjon var motsatte regningsarter. Han utarbeidet metoder for å løse en rekke problemer knyttet til beregning av arealer, tangenter, lengde av bane- eller kurvestykker og ekstremalverdier. Hans store dverk De Methodis Serierum et Fluxionum ble skrevet i 1671, men utkom i bokform først nærmere 70 år senere. Det var dette matematiske redskapet Newton hadde for hånd da han utviklet sin gravitasjonsteori som skulle bli enerådende inntil Einstein s spesielle relativitetsteori. Newton kunne her gi en dypere begrunnelse for Keplers tre lover. Hans Philosophiae naturalis Principia Mathematica som ble publisert i 1687 regnes som et av de største vitenskapelige verk som er publisert.

Den tyske matematiker Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) som arbeidet parallelt med Newton anvendte en tankegang som ligner mer på vår egen. Det er for så vidt talende at når vi i dag beskriver metoder fra matematikere før ham, bruker vi Leibniz notasjon. En av Leibniz store fortjenester var innføringen av en systematisk notasjon som gjorde symbolmanipulasjonen nærmest selvforklarende. Han bruk av differensialer kan illustrere dette. Kjerneregelen kan skrives slik:
 z (x)= z (u (x)) Þ z’ (x)=z’(u (x))u’ (x)      men med differensialer får vi  

Leibniz begynte å utgi sine arbeider om inifinitesimalregning i 1684. Ut fra den regningen eller kalkulus han bygget opp kunne han utlede setninger og teknikker som tidligere var tatt i bruk uten noen stringent bevisførsel.

Å forsøke å fange inn Leibniz og Newtons virke i noen få setninger er selvsagt ikke lett. De ytet hver fra sin side en formidabel innsats for å utvikle infinitesimalregningen. Noe kan vel uttrykkes i dette at Leibniz etablerte en mer systematisk lærebygning med en logisk og kosistent notasjon – mens Newton gjorde en større innsats ved anvendelsen og fant mange vidtrekkende sammenhenger, f eks innenfor rekkeutvikling. Satt litt på spissen kan man si at den første var i noen grad mer opptatt av metode, mens den andre var mer opptatt av anvendelse.  


Analysen vokser frem

Leonhard Euler (1707-1783) var en av de virkelig store matematikere med en omfattende produksjon.  Fra 1771 var Euler totalt blind. Han virket i St Petersburg og Berlin. Etter hans død fortsatte akademiet i St Petersburg å utgi hans upubliserte verker i nesten 50 år.

I 1748 utga Euler Introductio in analysin infinitorum der han legger funksjonsbegrepet til grunn for analysen. Nå skjer en tydelig overgang fra en tidligere forståelse bygget på geometri til nyere bygget på funksjoner. I Introductio finner vi typisk nok ingen diagrammer eller figurer.

Den definisjonen Euler her gir, en funksjon av en vilkårlig størrelse (uavhengig variabel) er et vilkårlig analytisk uttrykk av denne variabelen og numeriske koeffisienter, er tydelig en formel definisjon. I et senere verk, Institutiones calculi differentialis, (1755), finner vi en mer generell definisjon som peker frem mot et moderne funksjonsbegrep, .. derfor, dersom x betegner en variabel størrelse (uavhengig variabel), så kan enhver størrelse (avhengig variabel) som på en eller annen måte avhenger av x eller bestemmes av den, kalles en funksjon av den.

 Euler tar også i bruk de komplekse tallene i analysen. I Introductio undersøker Euler eksponensialfunksjonen og den naturlige logaritmefunksjonen og finner rekkeutvikling for tallet e og potensrekker for e^x  - og for   ln(1 + x). Han definerer også de trigonometriske funksjonene som funksjoner av buelengden av en enhetssirkel, dvs målt i radianer, og finner rekkeutviklinger for dem. Han knytter også sin x og cos x til funksjonen e^x i den kjente formelen e^ix =cos x + i sin x . Her gir Euler seg inn på de komplekse funksjonene som vi skal komme tilbake til senere.  

Med de to nevnte verkene og Institutiones calculi integralis (1774) grunnla Euler det området vi i dag kaller analysen. 

Når Euler arbeider med derivasjon, utvikler han potensrekker av dx - og neglisjerer så ledd av høyere orden dvs dx² ,  dx³  osv. I det hele tatt var bruk av differensialer eller fluxioner nokså løst definert - av og til  hadde de verdi og av og til ikke. Det skulle bli en annen matematiker, Augustin Louis Cauchy som brakte klarhet i dette

Euler beskjeftiget seg også med differensialligninger. En differensialligning ligner litt på en vanlig algebraisk ligning, men i stedet for høyere potenser av den ukjente, har den høyere ordens deriverte - og tilsvarende koeffisientene i en ligning, finner vi koeffisienter eller også funksjoner i differensialligningen.


Anvendt matematikk - matematikken som redskap.

På 17-tallet beskjeftiger flere matematikere seg med problemstillinger som stammet fra fysikk, særlig mekanikk. Ved siden av Euler bør vi også nevne Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) som etterfulgte Euler i Berlin. Han skrev flere verk, bl a Théorie des fonctions analytique (1997) der han behandler funksjoner av reelle variable - og  Mechanique ananlytique (1788) der han bl a presentere de såkalte Lagrange'ske ligninger for et dynamisk system. Han regnes også som opphavsmannen til den såkalte variasjonsregningen. Foruten algebra og sannsynlighetsregning arbeidet han særlig med dynamikk, celest mekanikk og hydrodynamikk. Hans arbeid på de siste områdene medførte at han gjorde en stor innsats innenfor teorien for differensialligninger og partielle differensialligninger. Lagrange var i det hele tatt et eksempel på hvorledes fysikken inspirerte matematikerne til å utvikle nye verktøy.

Tyskeren Carl Friedrich Gaus (1777-1855) som gjorde en banebrytende innsats på flere områder i matematikk - kanskje spesielt tallteori, beskjeftiget seg også med problemstillinger fra fysikk og astronomi. Han gjorde også en stor innsats innenfor det område som siden er blitt til vektoranalyse. I 1833 publiserte han to verk der han bl a publiserte sin potensialteori. Han studerte også hypergeometriske rekker, en funksjon som opptrer som løsning på en spesiell type differensialligninger. Gauss var også en av de første som arbeidet med magnetisme og enheten for styrken av et magnetisk felt har fått navn etter ham.


Komplekse funksjoner

Franskmannen Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857 ) var en uhyre produktiv matematiker som i så henseende kan sammenlignes med Euler. Bl a var han en av de første som systematisk undersøkte konvergens av rekker og brakte dermed rekkeutvikling av funksjoner på sikker grunn. Av særlig interesse er Cauchy s arbeid med såkalte komplekse funksjoner. Et komplekst tall består av en reell del og en imaginær del. Komplekse funksjoner er funksjoner der både den avhengige og uavhengige variable er komplekse størrelser. Mens vi kan avbilde et reelt tall som et punkt på tallinjen, avbilder vi et komplekst tall som et punkt i det komplekse planet, dvs første komponent er den reelle delen og annen komponent den imaginære. Denne måten å notere komplekse tall på ble første gang beskrevet av den norske matematiker og landmåler Caspar Wessel (1745 - 1818) i et arbeid fra 1799 som i dag virker utrolig moderne.

Cauchy gjorde en banebrytende innsats når det gjaldt teorien for de komplekse funksjonene. Han var også en av de første som stilte krav om streng bevisførsel. Cauchy var bl a opptatt av å gi et solid teoretisk grunnlag for  integralregning - noe som etter hvert viste seg tvingende nødvendig.


Det moderne funksjonsbegrep tar form

Typisk for matematikere opp til Euler s tid var at de åpenbart funksjonsforskriften som en formel. I 1747 fant franskmannen Jean Le Rond d'Alembert (1717 - 1783) at til den partielle differensialligningen for en svingende streng. svarte en funksjon av typen y(x,t)= ½f(x-at)+½f(x+at)    - når initialkravet var y(x,0)=f(x) . d'Alembert mente selv at funksjonen f(x) måtte være gitt ved samme funksjonsforskrift eller formel på hele strengen. Kontinuitet ble oppfattet som kontinuitet av forskrift. Mot dette argumenterte Euler at en streng kunne i startøyeblikket være beskrevet som en linje med "knekkpunkt" dvs det vi i dag ville beskrive ved en delt funksjonsforskrift - noe Euler selv beskrev som en diskontinuerlig funksjon.

Den franske Louis Arbogast (1759 - 1803) innførte begrepene diskontinuerlig for funksjoner med delt funksjonsforskrift og discontiguerlige for funksjoner som er diskontinuerlige i vår moderne forstand. Imidlertid skulle kontinuitetsbegrepet komme i søkelyset i og med arbeidene til en fransk fysiker Joseph Fourier (1768 - 1830) som arbeidet med temperaturfordelingen i legemer. I 1822 utga han boken Theorie analytique de chaleur der han utvikler videre en metode introdusert av Euler og Bernoulli for å beskrive temperaturen inne i et legeme der overflatetemperaturen er kjent. For det todimensjonale stasjonære tilfelle  finner han en partiell differensialligning med enkeltløsninger, f eks dersom randkrav er T(x,0) = f(x) og T(0,y = T(¶,y)= 0,  T_n(x,y)=a_n e^-ny sin nx - der a_n er en konstant og n et helt tall - slik at den fullstendige løsningen kan skrive som en sum av slike enkeltløsninger.  
Den fullstendige løsningen kan da skrives som en sum av slike enkeltløsninger der konstantene a_n kan finnes ved å integrere produktet av f(x) og sin nx . Og det er her Fourier setter diskusjonen i gang i det han hevder at f(x) ikke behøver å være kontinuerlig - dvs at integralet ikke kan finnes som den antideriverte.  

Dersom vi tar for oss en så enkel funksjon som f(x)=x på intervallet [0, p] - vil Fourier s løsning - som er en sum av kontinuerlige funksjoner, sinusfunksjoner, konvergere mot en diskontinuerlig funksjon.

Det var den tsjekkiske presten Bernard Bolzano (1781-1848) som ga den første moderne definisjonen av kontinuitet. Cauchy ga en tilsvarende definisjon noen år senere. Bolzano var også en av de aller første som innså betydningen av uniform kontinuitet. "Bolzano er en dyktig karl " skrev Niels Henrik Abel.

Den tyske matematikeren Georg Bernhard Riemann (1826-1866) videreførte Cauchy s arbeid og ga integralbegrepet den form det har i dag. Imidlertid innførte franskmannen Henri Lebesgue (1918-1941) integralet som er oppkalt etter ham. Lebesgue-integralet er igjen en generalisering av Riemann-integralet. Det fører imidlertid for langt å gå nærmere inn på dette her.  

Vektorrom, operatorer, funksjonaler og generaliserte funksjoner 

Kanskje den mest vidtfavnende matematiker og ved siden av Riemann den som loddet dypest, var den franske Henri Poincaré (1854-1912) som arbeidet innenfor fysiske disipliner som bl a potensialteori, hydrodynamikk, termodynamikk og celest mekanikk. På disse feltene hadde matematikken frem mot århundreskiftet skaffet til veie en utrolig og rikholdig samling av verktøy som f eks Fourieranalyse, teorien for differensialligninger og for partielle differensialligninger, lineær algebra,  integralligninger, transformasjoner osv.

Poincaré bidro også sammen med en rekke andre til at topologien og algebraen ble bragt inn i funksjonsteorien. Georg Cantor  (1845-1918) bidro til det samme med sin mengdelære.

I løpet av det siste hundreår er det skjedd en interessant utvikling der funksjonsteori, topologi og algebra er vevet inn i hverandre. Utviklingen av teorien for integralligninger som særlig skyldes den tyske David Hilbert (1862-1943), den italienske Vito Volterra (1860-1940) og svensken Ivar Fredholm (1866–1927) var sterkt medvirkende til etableringen av den såkalte funksjonalanalysen, og mye av teorien innenfor dette feltet kan betraktes som generaliseringer av teorien for integralligninger.

Franskmannen Jaques Hadamard (1865–1963) var visstnok den som introduserte begrepet funksjonal i et verk fra 1909 om variasjonsregning, der et integral betraktes som en funksjon av en funksjon som inngår som en faktor i integranden. Denne regnemåten går for øvrig tilbake til Bernouilli brødrene og senere til Lagrange. Hadamard s elev Maurice Frechet (1878–1973) definerte den deriverte av en funksjonal.

Det var imidlertid den polske matematiker Stefan Banach (1892–1945)som utviklet en fundamental teori for funksjonalanalysen. Her studerer man egenskapene til ulike typer vektorrom og avbildninger mellom dem. Flere andre deltok også i dette arbeidet bl a den ungarske matematiker Frigyes Riesz (1880 –1956).

Et enkel illustrasjon av en operator er en todimensjonal matrise som avbilder en todimensjonal vektor som en ny todimensjonal vektor. En tilsvarende illustrasjon av en funksjonal er skalarproduktet av en gitt vektor og en variabel vektor, som avbilder den variable vektoren som et tall. Men i den nye teorien taler man også om rommet av kontinuerlige funksjoner på et lukket og begrenset intervall, noe som viser hvor generalisert og abstrakt teorien er.

I mange tilfelle finner man løsningen på problemer ved en iterativ prosedyre der man stadig finner bedre approksimasjoner for løsningen. Konvergens blir dermed et sentralt spørsmål – for å kunne avgjøre slike spørsmål må man kunne definere en norm for vektorrommet– og et slikt vektorrom kalles derfor normert. Dersom såkalte Cauchy følger alltid konvergerer mot elementer som er inneholdt i rommet, kalles det komplett. Til ære for Banach kalles slike vektorrom for Banach rom. Et Banach rom der normen dannes ved et skalarprodukt av vektorene, kalles et Hilbert rom etter den tyske matematiker David Hilbert. 

Franskmannen Laurent Schwartz (1915–2002) la det teoretiske grunnlaget for teorien for distribusjoner eller generaliserte funksjoner. Andre matematikere hadde tatt i bruk slike metoder tidligere, bl a de britiske fysikerne Paul Dirac (1902–1984) innenfor kvantefysikk og James Lighthill (1924–1998) innenfor gassdynamikk og akustikk.

I denne teorien inngår vektorrom av funksjoner integrerbare innenfor et intervall. En følge funksjoner sies da å konvergere mot en generalisert funksjon relativt til en klasse såkalte testfunksjoner dersom en følge av integraler med integrand lik produkter av følgen av funksjoner og en testfunksjon konvergerer mot integralet av produktet av den generaliserte funksjonen og testfunksjonen. 

På denne måten kan man definere funksjoner som den såkalte d(x) som er null overalt unntatt for x= 0 - og der integralet av produktet av en funksjon g(x) og d(x) er lik g(0)

F