Modellbygging i matematikk.
Avgjørende for om et konkret problem skal kunne løses
matematisk, er om problemet lar seg oversette til en matematisk modell.
Det kan være et enkelt problem som å finne hvor mye som kan kjøpes av
to varer dersom pris og total kjøpesum er gitt - eller å finne strømningshastighet
omkring en kule der vi kjenner hastigheten ved kuleoverflaten og langt ute
fra overflaten.
En teoretisk modell representerer en idealisering eller forenkling av
virkeligheten. På en måte kan man si at forskeren skaper en virtuell
virkelighet der forskeren selv setter utgangsbetingelsene og formulerer
regler som styrer utviklingen. Innenfor mange vitenskaper har vi funnet
empiriske lovmessigheter som lar seg uttrykke matematisk. Dersom
prediksjonen eller konsekvensene av modellen stemmer med hva vi kan
observere i virkeligheten, sier vi at modellen representerer en
vitenskapelig lov.
De fysiske sammenhengene vi observerer, er formler som
knytter fysiske størrelser sammen. Modellene bygger imidlertid svært
ofte på hvorledes disse størrelsene endrer i seg med sted og tid - og
hva som bestemmer disse endringene. Kontinuitetsligningen nedenfor er et
klassisk eksempel på dette.
Problemene med å etablere en slik modell er for det første å gjette seg
til de rette utgangsbetingelsene og reglene - som igjen kommer til uttrykk
i f eks en algebraisk ligning eller en differensialligning - det annet er
å løse problemet matematisk - dvs å komme frem til en matematisk
beskrivelse av det vi kan observere. At første steg i en slik prosess er
vanskelig, forstår vi når vi ser at denne er knyttet til helt store navn
i naturhistorien - Newton s tre lover i mekanikk, Huygen s prinsipp i
optikk, Maxwell s elektrodynamiske ligninger, Poisson s
differensialligning, Navier- Stokes ligning i hydrodynamikk, Schrödinger
s bølgeligning osv.
Vi vet også at utviklingen av nye matematiske verktøy,
har skjedd nettopp for å løse slike matematisk formulerte problemer. I
ettertid har disse metodene vært undersøkt og utviklet nærmere, noe som
har utvidet matematisk teori og har ført ulike felter sammen.
I det følgende skal vi ta for oss noen ganske enkle
modeller - som vi presenterer som en illustrasjon på matematisk
modellbygging.
1.
Satellittmodellen
Dette er en svært enkel modell for planetarisk
bevegelse. Satellitten med masse m beveger seg med fart v i sirkelbane med radius R omkring
et sentrallegeme med masse M >>
m. Newton s annen lov gir oss at
sentripetalakselerasjonen for satellitten er lik tyngdekraften på
satellitten. Vi skriver g
for gravitasjonskonstanten og dette gir oss:
(1)
som vi kan skrive som
(1a)
Setter vi omløpsdistansen for en periode T
lik 2pR
, blir farten
som innsatt i (1a) gir
(2)
som er Kepler s tredje lov
2.
Sol - planetmodellen
Sol - planet modellen er banene ikke sirkler, men
ellipser. For denne modellen gjelder at spinnet er konstant. På figuren
har vi tegnet inn den sektoren dS som radius vektor R fra solen
til planeten sveiper ut i løpet av tiden dt - arealet av dS
er gitt som fartskomponenten Rdq
loddrett på radiusvektor slik at sektorarealet er gitt ved
(1)
Areal per tid blir nå
(1a)
For spinnet som her er konstant, har vi tilsvarende
(2)
som sammen med (1a) gir oss
(3)
(konstant)
som er Kepler s annen lov
3.
Bohr s modell for hydrogenatomet
I denne modellen går elektronene i sirkulære baner omkring en
kjerne. Også her forutsetter vi at Newton s annen lov gjelder, men
gravitasjonen er neglisjerbar sammenlignet med elektrostatisk tiltrekning.
Her er elektronets masse m,
ladning e, baneradius r og e
er en konstant (9.0·109 Nm2/C2).
(1)
Den tilleggsbetingelsen som Bohr la inn, var at spinnet skulle være et
multiplum av Planck s konstant h dividert med 2p-
eller tilsvarende at omkretsen av banen skulle være et multiplum av bølgelengden
for elektronet
(2)
tilsvarende
der N er et naturlig tall
Ut fra (1) og (2) kan vi eliminere v og finne et uttrykk for rN
:
(3)
setter
vi inn tall, finner vi: :
Ved hjelp av (1) finner vi et uttrykk for den totale energien til
elektronet:
(4)
Setter vi inn tall, finner vi for energien til et elektron i bane nr N
(5)
joule
I det elektronet går fra en bane til en lavere, taper elektronet en
bestemt energi tilsvarende energidifferansen mellom energibanene og det
sendes ut et foton med akkurat denne energien. Ved å regne på
energidifferansen, fremkommer Balmer s formel for frekvensen til fotonet.
Frekvensen er målbar og målingene av ulike frekvenser stemte med hva
Bohr s atommodell for hydrogenatomet predikerte - og som underbygget denne
modellen.
3.
Kontinuitetsligninger
Mange modeller blir stilt opp som
differensialligninger. Løsningene blir løst og løsningen så testet mot
observasjoner. Vi skal gi et eksempel på en enkel differensialligning som
bygger på en Taylor utvikling av en funksjon - i dette tilfellet
hastigheten i et fluidum. Vi gjør visse forutsetninger - fluidet fyller
hele volumet vi undersøker - både tetthet og hastighet endrer seg
kontinuerlig dvs uten sprang - og begge størrelser er funksjoner av sted,
, og tid. Vi regner også at strømmen bare har x- retning.
Vi betrakter et minimalt volum (dx,
dy,
dz)
som vist på figuren. Gjennom
de to grenseflatene A og B med mål dy,
dz,
strømmer fluidet inn og ut av volumet normalt på grenseflatene. Sentrum
av volumet er gitt som (x,y,z).
Vi forsøker å finne et uttrykk for nettostrømmen
av masse inn i volumet. Ved flaten A er strømmen av masse gitt som:
(1)
Ved flaten B er strømmen av masse gitt som:
(2)
Her har vi ikke tatt med ledd av høyere ledd enn første.
Vi har også regnet at farten ikke varierer over grenseflatene. Det vil
den gjøre, men variasjonen er av samme størrelsesorden som de leddene vi
har utelatt.
Netto strøm av masse inn i volumet er da gitt som
(3)
(3)
Dette må igjen tilsvare masseøkningen i volumet. Denne kan vi skrive som
(4)
Ligningene (3) og (4) gir oss igjen ligningen
(5)
dersom vi vi gir avkall på kravet
om at strømmen bare skal ha x- retning, finner vi:
(6)
Som er den kjente kontinuitetsligningen for kompressible fluider. Den er
sentral i aero- og hydrodynamikk, akustikk, meteorologi, oseanografi osv.
Biologiske modeller. En celles
vekst.
Studiet av organismers form og vekst kaller vi allometri. Også for
allometri kan vi stille opp matematisk formulerte modeller. Vi skal se på
noen her.
En celle opptar næring gjennom overflaten - derfor øker cellen
proporsjonal med overflaten.
Tenker vi oss cellen som en kule, kan vi regne
overflaten som
(1)
O = 4 pR2
- og volumet som
(2)
Massen av cellen blir dermed
(3)
hvor r
er tettheten, vanligvis »
1.0
Vi kan nå forsøke å finne overflaten som funksjon
av massen. Vi starter med å manipulere (1) slik at vi får R som funksjon av M -
deretter setter vi dette uttrykket for R inn i formelen for overflaten.
Fra (3) har vi sammenhengen:.
(4)
Setter vi inn R
fra uttrykket
(4) inn i formelen (1) for overflaten, finner vi:
(5)
dvs
Hvor C er
uttrykket i parentesen som bare inneholder konstanter, dermed er C
og en konstant.
Økningen i cellens masse, DM, er proporsjonal med
overflaten, slik at massen øker i tiden Dt
med
(6)
hvor
k
er en konstant bestemt av ytre faktorer
Ligning (6) gir oss en differensialligning vi kan løse - og ut fra den
finne vekstfunksjonen:
. Der M(0)
er massen ved start og t er
tiden fra start.
Det er imidlertid opplagt at denne funksjonen bare gjelder i absolutt
første fase av cellens vekst. Når overflaten er vokst over en viss
grense, er ikke den molekylære diffusjonen tilstrekkelig til å frakte
næringsstoffer inn i cellen og avfallsstoffer ut. Dermed bremses veksten
opp. Det (7) viser, er en utvikling der cellen først vokser langsomt og
så sterkere og sterkere.
Biologiske modeller. Sammenhengen skjelettmasse –
kroppsmasse.
Undersøker vi massen m av skjelettet hos et
dyr, viser det seg at denne varierer med
,
, der M er kroppsmassen. Nærmere bestemt er sammenhengen
gitt som:
, eller skrevet på en annen måte:
dette
er da en empirisk lov
Denne sammenhengen kan vi
prøve å utlede fra visse forutsetninger.
1.
Sammenheng mellom dyrets masse og dets typisk lengde.
Vi antar at lengden L
på en knokkel representerer en typisk lengde for dyret. Vi tenker oss
dyret som en sylinder, slik at lengden er aL og radius er bL
– hvor a og b
er konstanter.
Dermed finner vi at volumet og likeledes massen er proporsjonal med L
i tredje potens:
(1)
V= p
ab2×
L3
og videre kan vi sette for
massen
(2)
ab2×
L3
idet
vi for dyr har, M = 1.0×V
hvor 1.0 er tettheten
Vi har dermed at fra (2) at sammenhengen mellom typisk lengde og masse er
:
(3)
hvor k er en konstant.
2. Sammenheng mellom
knokkeltverrsnitt og dyrets masse.
Jo tyngre dyret er, desto kraftigere må knoklene være. Vi går ut fra at
det er et bestemt maksimaltrykk som knoklene kan tåle. Trykk er her vekt
(eg kraft) dividert med knokkeltverrsnitt. Vi antar derfor videre en
knokkel kan tåle et visst trykk, p,
dvs at masse M per knokkeltverrsnitt, A,
er konstant, dvs
(4)
p= M/A
.
Dermed at tverrsnittet gitt ved
A = M/p
Nå kan vi finne et uttrykk for volumet av en typisk knokkel ved å
multiplisere den typiske
lengden L for
knokkelen med det typiske tverrsnittet A.
Ikke alle knokler er bærende, slik som lårbenet, men de er
proporsjonale med volumet av de bærende knoklene.
Volumet av en bærende knokkel blir dermed
L·A,
og volumet av skjelettet
totalt bli
(5)
V= d
·L·A
hvor d er en konstant.
3.
Skjelettmassen uttrykt ved hjelp av knokkeltverrsnitt og typisk
lengde
Setter vi nå uttrykket for skjelettvolumet
V=
d
·L·A inn i
uttrykket for skjelettmassen,
m = k· V
finner vi:
(6)
og setter vi inn formelen for L,
, finner vi formelen vi startet med:
(7)
Formelen
er en meget interessant
sammenheng, den sier at massen av skjelettet vokser rasker enn massen av
kroppen M.
Setter vi inn vår tall, finner vi
c = 0.037
Vi kan nå stille spørsmålet – når er skjelettmassen lik
kroppsmassen. Det inntreffer ve
dvs:
dvs
dvs dyret må veie 19
tonn.
Dette var satt litt på spissen, men åpenbart må sammenhengen vi har
funnet, sette en grense for hvor store dyr kan bli. Dersom vi skalerer
figurer av en mus og en elefant, med skjelettene inntegnet, til samme størrelse - vil vi se at elefantens
skjelett er relativt kraftigere.
Vi skal avslutte med en annen biologisk modell:
Rettsmedisineren i kriminalsaker.
Alle som har fulgt med på kriminalserier, vet at detektiven spør
legen om tidspunktet for mordet. En rettsmedisiner som tilkalles til åstedet
for et drap, vil forsøke å anslå tidspunktet for drapet ut fra
legemstemperaturen på liket. Han tar temperaturen på liket. Som enhver
annen gjenstand kjøles liket ned, og desto raskere desto større
temperaturforskjellen er mellom liket og omgivelsene. Temperaturen følger
Newton s kjølingslov, som kan skrives som:
(1)
hvor t er tiden siden dødsøyeblikket,
Y(0) temperaturen i dødsøyeblikket = 37.0 og
omgivelsenes temperatur.
Denne loven kan vi utlede fra en enkel modell. Varmetapet fra et legeme er
DQ
i tiden Dt
er proporsjonalt med temperaturdifferensen mellom legemet og omgivelsene.
Det gir oss:
(2)
hvor a er en konstant for
varmeoverføring
Varmetapet er gitt som legemets varmeverdi C
multiplisert med endringen i temperatur:
(3)
Kombinerer vi (2) og (3), finner vi:
(4)
Denne gir oss igjen en differensialligning og løser
vi denne, finner vi (5).
(5) Y = Yo + (Y(0) - Yo)e-at/C
Ved å måle temperaturen ved to tidspunkter, kan a/C og tiden t
bestemmes.
