Modeller

 

 

 

 

 

 

 

Modellbygging i matematikk. 

Avgjørende for om et konkret problem skal kunne løses matematisk, er om problemet lar seg oversette til en matematisk modell. Det kan være et enkelt problem som å finne hvor mye som kan kjøpes av to varer dersom pris og total kjøpesum er gitt - eller å finne strømningshastighet omkring en kule der vi kjenner hastigheten ved kuleoverflaten og langt ute fra overflaten.

En teoretisk modell representerer en idealisering eller forenkling av virkeligheten. På en måte kan man si at forskeren skaper en virtuell virkelighet der forskeren selv setter utgangsbetingelsene og formulerer regler som styrer utviklingen. Innenfor mange vitenskaper har vi funnet empiriske lovmessigheter som lar seg uttrykke matematisk. Dersom prediksjonen eller konsekvensene av modellen stemmer med hva vi kan observere i virkeligheten, sier vi at modellen representerer en vitenskapelig lov.

De fysiske sammenhengene vi observerer, er formler som knytter fysiske størrelser sammen. Modellene bygger imidlertid svært ofte på hvorledes disse størrelsene endrer i seg med sted og tid - og hva som bestemmer disse endringene. Kontinuitetsligningen nedenfor er et klassisk eksempel på dette.

Problemene med å etablere en slik modell er for det første å gjette seg til de rette utgangsbetingelsene og reglene - som igjen kommer til uttrykk i f eks en algebraisk ligning eller en differensialligning - det annet er å løse problemet matematisk - dvs å komme frem til en matematisk beskrivelse av det vi kan observere. At første steg i en slik prosess er vanskelig, forstår vi når vi ser at denne er knyttet til helt store navn i naturhistorien - Newton s tre lover i mekanikk, Huygen s prinsipp i optikk, Maxwell s elektrodynamiske ligninger, Poisson s differensialligning, Navier- Stokes ligning i hydrodynamikk, Schrödinger s bølgeligning osv.

Vi vet også at utviklingen av nye matematiske verktøy, har skjedd nettopp for å løse slike matematisk formulerte problemer. I ettertid har disse metodene vært undersøkt og utviklet nærmere, noe som har utvidet matematisk teori og har ført ulike felter sammen.

I det følgende skal vi ta for oss noen ganske enkle modeller - som vi presenterer som en illustrasjon på matematisk modellbygging.

1.                  Satellittmodellen

Dette er en svært enkel modell for planetarisk bevegelse. Satellitten med masse m beveger seg med fart v i sirkelbane med radius R omkring et sentrallegeme med masse M >> m. Newton s annen lov gir oss at sentripetalakselerasjonen for satellitten er lik tyngdekraften på satellitten. Vi skriver g for gravitasjonskonstanten og dette gir oss:
(1)                    som vi kan skrive som     
(1a)       
Setter vi omløpsdistansen for en periode T lik 2pR , blir farten  som innsatt i (1a) gir

(2)                    som er Kepler s tredje lov    


2.         Sol - planetmodellen

Sol - planet modellen er banene ikke sirkler, men ellipser. For denne modellen gjelder at spinnet er konstant. På figuren har vi tegnet inn den sektoren dS som radius vektor R fra solen  til planeten sveiper ut i løpet av tiden dt -  arealet av dS er gitt som fartskomponenten Rdq loddrett på radiusvektor slik at sektorarealet er gitt ved

(1)      

Areal per tid blir nå

(1a)     

For spinnet som her er konstant, har vi tilsvarende

(2)                    

som sammen med (1a) gir oss   

(3)         (konstant)   som er Kepler s annen lov


3.                  Bohr s modell for hydrogenatomet

I denne modellen går elektronene i sirkulære baner omkring en kjerne. Også her forutsetter vi at Newton s annen lov gjelder, men gravitasjonen er neglisjerbar sammenlignet med elektrostatisk tiltrekning. Her er elektronets masse m, ladning e, baneradius r og e  er en konstant (9.0·109 Nm2/C2).

(1)              

Den tilleggsbetingelsen som Bohr la inn, var at spinnet skulle være et multiplum av Planck s konstant h dividert med 2p- eller tilsvarende at omkretsen av banen skulle være et multiplum av bølgelengden for elektronet

(2)                      tilsvarende                     der N er et naturlig tall

Ut fra (1) og (2) kan vi eliminere v og finne et uttrykk for rN :

(3)             setter vi inn tall, finner vi: :  

Ved hjelp av (1) finner vi et uttrykk for den totale energien til elektronet:

(4)              

Setter vi inn tall, finner vi for energien til et elektron i bane nr N

(5)                joule

I det elektronet går fra en bane til en lavere, taper elektronet en bestemt energi tilsvarende energidifferansen mellom energibanene og det sendes ut et foton med akkurat denne energien. Ved å regne på energidifferansen, fremkommer Balmer s formel for frekvensen til fotonet. Frekvensen er målbar og målingene av ulike frekvenser stemte med hva Bohr s atommodell for hydrogenatomet predikerte - og som underbygget denne modellen.


3.                  Kontinuitetsligninger


Mange modeller blir stilt opp som differensialligninger. Løsningene blir løst og løsningen så testet mot observasjoner. Vi skal gi et eksempel på en enkel differensialligning som bygger på en Taylor utvikling av en funksjon - i dette tilfellet hastigheten i et fluidum. Vi gjør visse forutsetninger - fluidet fyller hele volumet vi undersøker - både tetthet og hastighet endrer seg kontinuerlig dvs uten sprang - og begge størrelser er funksjoner av sted, , og tid. Vi regner også at strømmen bare har x- retning.

Vi betrakter et minimalt volum (dx, dy, dz) som  vist på figuren. Gjennom de to grenseflatene A og B med mål dy, dz, strømmer fluidet inn og ut av volumet normalt på grenseflatene. Sentrum av volumet er gitt som (x,y,z).

Vi forsøker å finne et uttrykk for nettostrømmen av masse inn i volumet. Ved flaten A er strømmen av masse gitt som:

(1)      

Ved flaten B er strømmen av masse gitt som:  

(2)      

Her har vi ikke tatt med ledd av høyere ledd enn første. Vi har også regnet at farten ikke varierer over grenseflatene. Det vil den gjøre, men variasjonen er av samme størrelsesorden som de leddene vi har utelatt.

Netto strøm av masse inn i volumet er da gitt som
(3)

(3)      

Dette må igjen tilsvare masseøkningen i volumet. Denne kan vi skrive som

(4)      

Ligningene (3) og (4) gir oss igjen ligningen

(5)                         dersom vi vi gir avkall på kravet om at strømmen bare skal ha x- retning, finner vi:

(6)      

Som er den kjente kontinuitetsligningen for kompressible fluider. Den er sentral i aero- og hydrodynamikk, akustikk, meteorologi, oseanografi osv.


Biologiske modeller. En celles vekst.


Studiet av organismers form og vekst kaller vi allometri. Også for allometri kan vi stille opp matematisk formulerte modeller. Vi skal se på noen her.

En celle opptar næring gjennom overflaten - derfor øker cellen proporsjonal med overflaten.

Tenker vi oss cellen som en kule, kan vi regne overflaten som

(1)     O = 4 pR2    -  og volumet som

(2)     

Massen av cellen blir dermed 

(3)                hvor r er tettheten, vanligvis  » 1.0 

Vi kan nå forsøke å finne overflaten som funksjon av massen. Vi starter med å manipulere (1) slik at vi får R som funksjon av M - deretter setter vi dette uttrykket for R inn i formelen for overflaten. Fra (3) har vi sammenhengen:.

(4)

Setter vi inn  R  fra uttrykket  (4) inn i formelen (1) for overflaten, finner vi:

(5)          dvs    

Hvor C er uttrykket i parentesen som bare inneholder konstanter, dermed er C og en konstant.

Økningen i cellens masse, DM,  er proporsjonal med overflaten, slik at massen øker i tiden Dt med
(6)              hvor  k er en konstant bestemt av ytre faktorer

Ligning (6) gir oss en differensialligning vi kan løse - og ut fra den finne vekstfunksjonen:

   
.    Der M(0) er massen ved start og t er tiden fra start.

Det er imidlertid opplagt at denne funksjonen bare gjelder i absolutt første fase av cellens vekst. Når overflaten er vokst over en viss grense, er ikke den molekylære diffusjonen tilstrekkelig til å frakte næringsstoffer inn i cellen og avfallsstoffer ut. Dermed bremses veksten opp. Det (7) viser, er en utvikling der cellen først vokser langsomt og så sterkere og sterkere.


Biologiske modeller. Sammenhengen skjelettmasse – kroppsmasse.

Undersøker vi massen m av skjelettet hos et dyr, viser det seg at denne varierer med , , der M er kroppsmassen. Nærmere bestemt er sammenhengen gitt som: , eller skrevet på en annen måte:

      dette er da en empirisk lov

Denne sammenhengen  kan vi prøve å utlede fra visse forutsetninger.

1.  Sammenheng mellom dyrets masse og dets typisk lengde.

Vi antar at lengden  L på en knokkel representerer en typisk lengde for dyret. Vi tenker oss dyret som en sylinder, slik at lengden er aL og radius er bL

– hvor a og b er konstanter.

Dermed finner vi at volumet og likeledes massen er proporsjonal med L i tredje potens:

(1)               V= p ab2× L3 og videre kan vi sette for massen 

(2)                  ab2× L3        idet vi for dyr har,  M = 1.0×V  hvor 1.0 er tettheten

Vi har dermed at fra (2) at sammenhengen mellom typisk lengde og masse er :
(3)                      hvor k er en konstant. 


2.       Sammenheng mellom knokkeltverrsnitt og dyrets masse.

Jo tyngre dyret er, desto kraftigere må knoklene være. Vi går ut fra at det er et bestemt maksimaltrykk som knoklene kan tåle. Trykk er her vekt (eg kraft) dividert med knokkeltverrsnitt. Vi antar derfor videre en knokkel kan tåle et visst trykk, p, dvs at masse M per knokkeltverrsnitt, A, er konstant, dvs

(4)     p= M/A .        Dermed at tverrsnittet gitt ved A = M/p

Nå kan vi finne et uttrykk for volumet av en typisk knokkel ved å multiplisere den  typiske lengden L for  knokkelen  med det typiske tverrsnittet  A.  Ikke alle knokler er bærende, slik som lårbenet, men de er proporsjonale med volumet av de bærende knoklene. 

Volumet av en bærende knokkel blir dermed  L·A,  og volumet av skjelettet totalt bli 

(5)       V= d ·L·A        hvor d er en konstant.


3.          Skjelettmassen uttrykt ved hjelp av knokkeltverrsnitt og typisk lengde

Setter vi nå uttrykket for skjelettvolumet  V= d ·L·A  inn i uttrykket for skjelettmassen,

m = k· V     finner vi:  

(6)                 og setter vi inn formelen for L,   , finner vi formelen vi startet med:

(7)      
Formelen  er en meget interessant sammenheng, den sier at massen av skjelettet vokser rasker enn massen av kroppen M.  Setter vi inn vår tall, finner vi  c = 0.037

Vi kan nå stille spørsmålet – når er skjelettmassen lik kroppsmassen. Det inntreffer ve

  
dvs:           dvs    dvs dyret må veie 19 tonn.

Dette var satt litt på spissen, men åpenbart må sammenhengen vi har funnet, sette en grense for hvor store dyr kan bli. Dersom vi skalerer figurer av en mus og en elefant, med skjelettene  inntegnet, til samme størrelse - vil vi se at elefantens skjelett er relativt kraftigere. 

Vi skal avslutte med en annen biologisk modell:


Rettsmedisineren i kriminalsaker.

Alle som har fulgt med på kriminalserier, vet at detektiven spør legen om tidspunktet for mordet. En rettsmedisiner som tilkalles til åstedet for et drap, vil forsøke å anslå tidspunktet for drapet ut fra legemstemperaturen på liket. Han tar temperaturen på liket. Som enhver annen gjenstand kjøles liket ned, og desto raskere desto større temperaturforskjellen er mellom liket og omgivelsene. Temperaturen følger Newton s kjølingslov, som kan skrives som:

(1)                     

hvor t er tiden siden dødsøyeblikket,   Y(0) temperaturen i dødsøyeblikket = 37.0  og  omgivelsenes temperatur.

Denne loven kan vi utlede fra en enkel modell. Varmetapet fra et legeme er DQ  i tiden Dt er proporsjonalt med temperaturdifferensen mellom legemet og omgivelsene. Det gir oss:

(2)                               hvor a er en konstant for varmeoverføring

Varmetapet er gitt som legemets varmeverdi C multiplisert med endringen i temperatur:

(3)                

Kombinerer vi (2) og (3), finner vi:

(4)              

Denne gir oss igjen en differensialligning og løser vi denne, finner vi (5).

(5)       Y = Yo + (Y(0) - Yo)e-at/C 

Ved å måle temperaturen ved to tidspunkter, kan a/C og tiden t bestemmes.

 



 

 

 

 

 

 



 





 
  
Illustrasjon til sol-planetmodellen og:        
Keplers annen lov: Sektoren som             
sveipes ut i tiden dt            




                


              


              


              


              


              


              


              


              


              


              


              


              


              


              


              


              


              


              


              


                   






             
Kontinuitetsligningen   Modell for        
 endimensjonal strøm av fluid              

 

      
Sammenheng mellom skjelett-    
 og kroppsmasse hos landdyr     




       

Sammenheng mellom               
masse og knokkeltverrsnitt        

 

 

 

 

 

 

Opp Algebra Didaktikk Funksjoner Geometri Modeller Statistikk