Max Planck (1858-1947).

Forklaring av spektralfordelingen til strålingen fra et svart legeme. Et sort legeme er et legeme som absorberer all stråling. Et legeme som absorberer stråling vil øke sin indre energi dvs. at temperaturen øker. Legemet vil derfor også sende ut stråling. Stråling sendt ut fra et sort legeme kalles sort stråling. Strålingen fra et sort legeme vil vil energimessig fordele seg over bølgelengdene som antydet på fig.

Et sort legeme kan lages ved at man har et hulrom(eks. en eske med sorte vegger ). Man finner at den elektromagnetiske strålingen inne i hulrommet er uavhengig av materialet i veggene. Den avhenger bare av temperaturen til veggene. For å forklare hvordan strålingen fra sort legeme fordelte seg energimessig ved de ulike bølgelengdene, tenkte Planck seg at atomene i veggene på et sort legeme kunne beskrives som endimensjonale harmoniske oscillatorer (Et lodd som henger i en fjær og svinger opp og ned kan beskrives som en endimensjonal harmonisk oscillator). Disse kunne ta til seg stråling og sende ut stråling. Når de tok til seg energi økte amplituden, og når de ga fra seg energi minsket amplituden. Problemet med denne modellen var at det var nødvendig å begrense de tillatte energiene(og derved amplitudene) til oscillatorene dersom resultatet skulle stemme med observasjonene. Planck fant at han kunne få denne begrensningen ved å sette at energien til oscillatorene var gitt ved formelen.

En = n× h× f

Her n er et helt tall, h er Plancks konstant og f er frekvensen på strålingen

Dersom stråling sendes ut blir den frigitte energien D E

D E = En-En-1

D E =n× h× f - (n-1)× h× f

D E = h× f

Planck fant altså ut at dersom energi skulle uveksles mellom vegger og stråling så måtte dett skje i form av energipakker med energi hf. Han sa ikke at stråling i seg selv var kvantfisert. Den som skulle komme med dette var Albert Einstein.

Albert Einstein (1879-1955)

I 1905 kom han med forklaringen på den fotoelektriske effekt. (Samtidig kom han med forklaring på Brownske bevegelser og fremsatte den spesielle relativitetsteorien). Bakgrunnen for Einsteins forklaring var at Einstein ville se på variasjonen i entropi for sort stråling. (Entropi er et fysiskt berep som sier oss noe om graden av uorden i et system. En viktig setning i termodynamikken er at entropien i et lukket system alltid vil øke. Det innebærer blandt annet at energikvaliteten i et lukket system alltid avtar). Ensteins analyse viste at de entropiforandringen han fant var de samme som ville fremkommet dersom sort stråling besto av partikler med energi hf. Mens Planck hadde sagt at energi i sort stråling kunne absorberes og avgis i kvant med verdien hf, men ikke hadde sagt hva denne strålingen besto av, så sa nå Einstein at sort ståling kunne ses på som en gass der gasspartiklene hadde energien hf. Derved kunne Einstein komme med en forklaring på den fotoelektriske effekt. På Ensteins tid visste man stort sett bare at lys som falt på metallplater i noen tilfeller førte til at elektroner ble avgitt fra metallet.

Dette kan forklares ut fra Einsteins modell at lys er en strøm av lyspartikler fotoner. Disse lyspartiklene har energien E=h× f. Dersom frekvensen er for lav har ikke lyspartiklene nok energi til å slå løs elektronene. For partikler som blir slått løs har vi:

h× f = Ek + W

Den innkommende energi som er gitt ved energien til et foton E = h× f brukes til løsrivningsarbeide W og kinetisk energi til det løsrevne elektron Ek.

Forklaringen til Einstein ble ikke umiddelbart godtatt. Således var Planck skeptisk.

Etterhver som man studerte fotoelektrisk effekt nærmere fant man at obervasjonene kunne forklares ut fra Einsteins modell. Man fant at

1. Lys som faller på et metall gjør at elektroner løsrives. Denne effekten vises ikke dersom lysets bølgelengde er under en viss frekvens. Dette selv om intensiteteten til det innkommende lys kan være svært stor.

2. Den fotoelektriske effekt skjer umiddelbart hvis den skjer. Det er ikke slik at energi kan lagres opp ved at lys faller på en flate over tid.

3. Energien til det enkelte elektron som blir slått ut, har sammenheng med frekvensen til det innkommende lys, men er uavhengig av intensiteten til lyset.

4. Dersom elektroner blir slått løs avhenger antallet av intensiten til lyset.

Alle disse resultatene kan forklares ut fra Einsteins fotonhypotese. Først ved påvisningen av Comptoneffekten i 1922, ble imidlertid Einsteins syn på lyset som en strøm av fotoner alment godtatt. Ved Comptoneffekten blir innkommende stråling spredt ved kollisjon med frie elektroner og frekvensen blir da redusert. Compton viste at dette kunne forlares som et ellastisk støt mellom et innkommende foton og et elektron. Fotonet ville da gi en del av energien til elektronet og frekvensen ville bli redusert. Størst reduksjon ville en få ved et rett støt.

I 1911 Kom han med sin atommodell. Dette ved at han sendte alfa-partikler(Heliumkjerner) gjennom en gullfolie.De fleste gikk gjennom folien mens noen få ble kastet tilbake. Da atomene i folien lå tett uten noe mellomrom tolket Rutherford resultatet dit at alfa partiklene måtte gå gjennom atomene. Da de fleste gikk gjennom måtte atomene bestå av mye hulrom. Det at noen få alfa partikler ble kastet tilbake kunne forklares, dersom det meste av massen i atomet var samlet i en positiv kjerne. Rutherfords atommodell er altså at atomet har en positiv kjerne, og at negative elektroner kretser rundt denne. Forholdet mellom kjernens diameter og atomets diameter er ca 1/100000. Atomet kan alså ligne på vårt solsystem bare at det i forhold til vårt solsystem er mer tomrom i atomet

Det var imidlertid visse problemer med Rutherfords modell

1. Ut fra elektromagnetisk teori som var utviklet av Maxwell i forrige århundre skulle en elektrisk ladet partikket som ble akselerert sende ut elektromagnetisk stråling. Elektroner som gikk i baner rundt kjernen hadde sentripetalakselerasjon og skulle derved sende ut elektromagnetisk stråling. De ville da miste energi og burde derfor i følge elektromagnetisk teori til slutt havne i atomkjernen.

2. Ved å studere lys som ble sendt ut fra gasser fant man at bare lys med helt bestemte bølgelender ble sendt ut(spektrallinjer). Det vil si at atomer bare kunne frigi helt bestemte energier. Dette at det var begrensninger på de energier som ble sendt ut, kunne ikke forklares ut fra Rutherfords modell. Man kunne tenke seg at energi ble frigitt ved at et elektron kom nærmere kjernen. Det var imidlertid ikke noen naturlig måte å sette opp begrensninger på de energier som kunne sendes ut.

For å bøte på manglene med Rutherfords atommodell kom han i 1913 med sine postulater

1. Elektronet kan gå i visse stasjonære baner uten å stråle ut energi

2. Hvis elektronet hopper fra en bane med energi En til en bane med energi Em blir energidifferansen gitt som et foton med energi hf.

D E = En-Em

h× f = En-Em

3. Ved en del prøving og feiling fant nå Bohr at dersom han antok at det angulære moment i en elektronbane m× v× r var kvantisert, dvs det var n× h`(der h`= h/2p ) så kunne han utlede en formel for energisprang som gav de observerte frekvenser for lysutsendelse fra hydrogen.

m× v× r = n× h`

 

Mens de to første postulatene ikke sier noe om elektronbaner så sier det tredje at elektronene går i sirkelbvaner med kvantisert angulært moment.

Bohrs postulater forklarer egenlig ikke hvorfor elektronet kan gå i bane rundt atomet uten å stråle ut energi, men siden vi eksister og derved atomene eksister så setter han opp som postulater det som må være konsekvensen av dette, nemlig at elektronene kan være i bestemte baner uten å stråle ut energi.

Bohrs atmodell virket fint for hydrogenatomet. Man kunne imidlertid ikke få den til å stemme for atomer som hadde flere elektroner. Det var klart at kvanemekanikken måtte utvikeles videre.

Utvikling av matriseformulering av kvantemekanikken

Vi har en tilstand representert ved en tilstandsvekteor som en starter med og en tilstand(tilstandsvektor) som en slutter med. Dette er det eneste vi kan observere. For å få overgangen mellom start og slutt konstruerer man en matrise som utfører denne overgangen. matematisk.

Forå gi en analogi så kan vi tenke oss at vi starter med Per og Kari fredig med vidergående skole. Fem år senerer er Per lærer og Kari siviløkonom. vi har da.

Per lærer Per videregående skole

= Operator *

Kari siviløkonom Kari videregående skole

Operatoren er da det som omdanner Per og Kari fra tilstanden vidergående skole til tilstanden henholdsvis lærer og siviløkonom. Operatoren vil i dette tilfellet bli

Per lærer Lærerhøyskole 0 Per videregående skole

= *

Kari siviløkonom 0 Handelshøyskole Kari videregående skole

Dette er en 2x2 matrise med to elementer lik 0.

I Heisenbergs formalisme består elementene i matrisen av matematiske operasjoner som blir gjordt på en begynnelsestilstand silk at man får en sluttilstand. Ofte kjenner man begynnelsestilstanden og sluttilstanden og oppgaven er å finner elementene i matrisen som omformer fra den ene tilstand til den andre.

Når har matriser den egenskap at rekkefølgen av operasjoner ikke er likegyldig. Ser vi på egenskapen multiplikasjon av tall, så er den en kommuterende egenskap. Således er 2× 4= 4× 2 Multipliserer vi sammen to matriser så vil imidlertid resultat kunne avhenge av rekkefølgen på matrisene. Generelt kommuterer altså ikke matriser. Den fysiske konsekvens av den matematiske egenskapen til matrisene er, at når man utfører to fysiske operasjoner som svarer til ikke kommuterende matriser, så vil disse fysiske operasjonene påvirke hverandre slik at produktet av usikkerheten i første operasjon og produktet av usikkerheten i andre operasjon ikke kan bli mindre enn en viss grense. Dette er Heisenbergs usikkerhetsrelasjon. Hvis vi for eksempel utfører en måling av bevegelsesmengde p til en partikkel og deretter prøver å finne posisjonen x til partikkelen, så kan ikke usikkerheten i bevgelesemengden D p ganget med usikkerheten i posisjon D x bli mindre enn h/4p . Lignende dersom man prøver å finne energien til et system og tiden systemet har denne energien.

D p× D x ³ h/4p D E× D t ³ h/4p

Heisenberg mente først at dette berodde på at vi ved måling forstyrrer et system. Skal man for eksempel finne posisjonen til en partikkel, så må man registrere den ved hjelp av stråling med kort bølgelengde for å kunne se partikkelen. Stråling med kort bølgelengde har imidlertid høy frekvens, og derved høy energi og beveglsesmengde. Derved vil denne strålingen kunne overføre bevegelsesmengde til partikkelen som skal måles og skape en usikkerhet ved måling av bevegelsemengden til denne.

Når Heisenberg fortalte om sin oppdagelse til Bohr, mente han imidlertid at Heisenbergs tolkning av sin oppdagelse ikke gikk dypt nok. Når Heisenberg sa at partikkelen ble forstyrret ved måling, så sa han indirekte at partikkelen hadde presise verdier for bevegelsemengde og posisjon. Disse verdiene hadde partikkelen uansett om vi målte den eller ikke. Denne måten å oppfatte verden på kalles gjerne lokal realisme. Problemet (ut fra lokal realisme) var at vi ikke hadde mulighet for å måle disse egenskapene til partikkelen presist. Bohr mente imidlertid at det var galt å tillegge en partikkel disse egenskapene uavhengig av målesituasjonen. Som "Ding an sich" vet vi ikke noe om partikkelen. Det eneste vi vet er at i en bestemt målesituasjon, så vil partikkelen reagere med vårt måleutstyr og gi oss et resultat som vi tolker som begelsesmengde. Begelsesmengden er imidlertid oppstått i interaksjonen partikkel/måleutstyr og kan ikke tolkes som en uavhengig egenskap for partikkelen. Heisenberg ble overbevist av Bohrs argumentajon og denne tolkningen ligger til grunn for Københavner tolkningen av kvantemekanikken (Bohr hadde sitt institutt i København).

Legg merke til at man ved hjelp av Heisenbergs usikkerhetsrelasjon nå kan nå få en forklaring på hvorfor elektronet ikke faller ned i kjernen. Dersom elektronet var i kjernen ville usikkerheten i posisjon bli svært liten. Dette ville igjen gjøre at usikkerheten i bevegelsmengde ble svært stor. Derved ville den gjennomsnittlige bevegelsesmengde bli stor og derved den kinetiske enrgien bli stor. Selv om den potensielle energien blir liten dersom elektronet er i kjernen så viser det seg at totalt er elektronet i sin laveste energitilstand når det ikke er i kjernen, men i en bane som svarer til atomet radius.

De Broglie satte i sin doktoravhandling frem hypotesen om at at partikler kunne oppfattes som bølger. For å sansynliggjøre dette kan vi se på bevegelsesmengden til et foton

Beveglsesmengde p = m× v. For fotonet er hastigheten lik lyshatigheten c. Vi får

p = m× c

Fotonet har ikke hvilemasse, men siden fotonet har energi og vi har Einsteins formel som kobler mellom energi og masse, så har fotonet en effektiv masse. Den effektive massen til et foton finnes av formelen E = mc². Det vil si

m = E/c².

Vi får da

p = (E/c²)× c p = E/c

Nå er energien til et foton E = h× f slik at vi får

p = h× f/c

Bruker vi at sammenhengen mellom bølgelengde l og frekvens f for lys er gitt ved formelen

c = l × f dvs. 1/l = f/c

får vi

p = h/l

derved har vi også når vi snur formelen

l = h/p

De Broglie mente at denne relasjonen muligens kunne gjelde generelt og ikke bare for fotoner. I så fall skulle alle partikler ha bølgenatur og ikke bare fotoner. Elektronet ville da ha en bølgelengde. Han viste at dersom man gikk ut fra at elektronet hadde bølgelengde gitt ved relasjonen ovenfor og antok at en elektronbane måtte bestå av et helt antall ståenede elektronbølger så kunne Bohrs kvantebetingelse angående angulært moment i de tillatte elektronbaner utledes.

Helt antall bølgelengder i omkrets

Bruker at l = h/p

Bruker at p = m× v

Bytter om og får Bohrs kvantiseringsbetingelse for angulært moment

Omvendt kunne en fra Bohrs kvantebetingelse utlede at elektronbanen måtte bestå av et helt antall stående elekronbølger.

At elektroner hadde bølgenatur ble senere funnet eksperimentelt blant annet ved at man sendte elektroner gjennom tynne metallfolier og fikk interferensmønstre. Legg imidlertid merke til at denne bølgen ikke er en elektromagnetisk bølge. Det er som vi skal se i det følgende en form for materiebølge som gir sannsynligheten for obsrvasjon av et elektron.

Inspirert av De Broglies tanker om elektronet som bølge prøvde Schrødinger om han kunne bygge opp en formalisme som kunne gi Bohrs stasjonære energitilstander som stående elektronbølger. Derved utviklet Schrødinger bølgeformuleringen av kvantemekanikken. Han viste at en en funksjon Y som tilfredstilte ligningen

ga en kvantemekanisk beskrivelse av systemet. Her er i det komplekse tallet Ö -1, h Plancks konstant, n antall partikler i systemet og H er operatoren som representer systemets totale energi. Denne bølgefunksjonen kvadrert gir oss en sannsynlighet

Y * × Y × dx₁dx₂dx₃......dx_3n

Dette er sannsynligheten for å finne x₁ mellom x₁ og x₁ + dx₁ osv. Dersom vi utfører en operasjon F(x₁,x₂,x₃,......x_3n,t) på systemet som avhenger av koordinatene, og vil vite resultater av denne operasjonen så gir

Y * × F× Y × dx₁dx₂dx₃......dx_3n

sannsynligheten for at vi observerer F mellom

F(x₁,x₂,x₃,......x_3n,t) og F(x₁+dx₁,x₂,+dx₂,x₃+dx₃,......x_3n+dx_3n,t)

Funksjonen Y viser seg å ha samme form som ligningen for en bølge. Schrødingers formulering av kvantemekanikken er derfor den bølgemekaniske formulering av kvantemekanikken. Senere viste Schrødinger at den bølgemekaniske formuleringen matematisk er ekvivalent med Heisenbergs matriseformulering av kvantemekanikken. Siden de fleste fysikere var vant med bølgeligninger ble Schrødingers formulering av kvantemekanikken den de fleste brukte.

Schrødinger mente først at dette muligjorde en realistisk tolkning av kvantemekanikken. Alt var bølger. Man fikk imidlertid problemer når man skulle behandle flere legemer. Da fikk man en funksjon som gikk i flere dimensjoner enn tre. Ved behandling av n partikler fikk man 3n dimensjoner. Dette kunne vanskelig tolkes realistisk.I en senere formulering av kvantemekanikken blant annet uviklet av Dirac blir da bølgefunksjoen sett på som en tilstandsvektor i et abstrakt rom Hilbertrommet og man bruker gjerne notasjonen| Y ñ

Max Born viste at ved å tolke | Y ñ som en sannsynlighetsfunksjon så kunne man få frem de obsevasjoner man gjorde på et atomært system. Problemet med å tolke bølgefunksjonen bare som en sannsynlighetsfunksjon, er at denne bølgefunksjonen tvinger et atomært system inn i visse tilstander. Eks at elektronet ikke kan være i visse posisjoner ved dobbeltspalteeksperiment. Dvs at bølgefunksjonen ikke bare beskriver elektronets posisjon, men også kontrollerer den.

Ser vi nå på bølgfunksjonen(tilstandfunksjonen) | Y ñ som beskriver systemets tilstand så kan den være en sum av egenfunksjoner som bekriver tillatte tilstander(egentilstander) av et atomært system.

| Y ñ = | Y _1ñ + | Y _2ñ + | Y _3ñ ....

Ved en observasjon på systemet vil systemet bli tvunget inn i en tillatt tilstand eks. | Y _3ñ . Vi sier at bølgefunksjonen kollapser til en egentilstand. Vi kan regne ut sannsynligheten for at bølgefunksjonen kollapser til en bestemt egentilstand. Vi kan imidlertid ikke komme bak denne sannsynligheten ved å kunne forutsi hvilken av disse egentilstandene bølgefunksjonen vil kollapse til.

Vi kan ta en analogi med ungdom som er ferdig med videregående skole. Det er da en rekke udanningsveier som står åpne. Vi kan si at hver utdanningsvei representerer en egentilstand som har en gitt sannsynlighet. Før valget er tatt består bølgefunksjonen som representer vår mulige fremtid av alle utdanningsmulighetene. Når vi har tatt valget og begynt på en bestemt utdanningsvei kommer vi inn i en bestemt egentilstand mens sannsynligheten for de andre utdanningsveiene kollapser.

Schrødinger var ikke fornøyd med denne tolkningen av kvantemekanikken og satte opp følgende paradoks.

En katt er i et romskip. I romskipet er det en giftampulle som utløses dersom et foton treffer den. Fotonet må passere et polarisasjonsfilter der sannsynligheten er 50% for å passere. Kvantemekanisk har vi da før observasjon 50% sjanse for død katt og 50% sjanse for levende katt.

| Y ñ = (1/Ö 2)| Y (levende katt)ñ + (1/Ö 2)| Y (død katt)ñ

(Faktoren (1/Ö 2) for at den samlede sannsynlighet skal bli 1)

Vi har da før observasjon en kvantemekanisk blanding av død og levende katt. Først ved observasjon når romskipet kommer frem vil man få tvunget katten i en egentilstand død/levende. Schrødinger mente at dette viste at kvantemekanikken var meningsløs som en total beskrivelse av naturen. Vanligvis bruker vi riktignok kvantemekanikken på atomære systemer, men det er ikke noe i formalismen som sier at kvantemekanikken ikke kan nyttes på makroskopiske systemer. Derav paradokset med Schrødingers katt.

Einstein var heller ikke fornøyd med Københavnerskolens tolkning av kvantemekanikken. Han var tilhenger av en lokalt realistisk posisjon. Det vil si at en partikkel uavhengig av observasjon har eksakte verdier av posisjon og bevegelsemengde. Problemet med kvantemekanikken er at den på grunn av Heisenbergs usikkerhetsrelasjon ikke er i stand til å finne disse eksakte verdiene. Sammen med fysikerne Podolsky og Rosen fremsatte han i 1935 et tankeeksperiment for å vise at man kunne trenge bak Heisenbergs usikkerhetsrelasjon.

Vi tenker oss et system der to elektroner vekselvirker. For dette systemet vil bevegelsesmengde være konservert. Vi tenker oss så at elektronene farer fra hverandre. Kvantemekanisk kan man vise at man kan bestemme helt nøyaktig summen av bevegelsesmengdene p = p₁ + p₂ og diffransen i posisjonene x = x₁ - x₂ der p₁ er bevegelsesmengden til partikkel_1 og x₁ er posisjonen til partikkel_1. Bestemmer vi nå ved måling bevgelsesmengden til partikkel_1 så vet vi nå beveglsesmengden til partikkel_2 da vi har at p₂ = p - p₁. Vi kan nå bestemme posisjonen til partikkel_2 helt nøyaktig uten å bry oss om at dette i følge Heisenbergs usikkerhetsrelasjon vil føre til at usikkerheten i bestemmelse av bevegelsesmengden til den samme partikkelen blir stor. Vi kjenner nemlig bevegelsesmengden til partikkel_2 ut fra målingen av bevegelsesmengden til partikkel_1. Vi har kommet bakom Heisenbergs usikkerhetsrelajon.

Vi da har en mulighet til å finne bevegelsesmengde og posisjon til en partikkel helt eksakt. Kvantemekanikken sier imidlertid at dette ikke er mulig, følgelig mente Einstein at dette viste at kvantemekanikken ikke er en fullstendig beskrivelse av naturen. Man måtte altså søke etter en bedre teori.

Forutsetningen for dette resonnementet er at partiklene har eksakte verdier for bevegelsesmengde og posisjon når vi ikke observerer dem, og at en observasjon på en partikkel ikke influerer den andre. Når Einstein la dette tankeeksperimentet frem for Bohr var det disse forutsetningene som Bohr hadde innvendinger mot. Bohr mente at det var galt å hevde at en partikkel har egenskaper som bevegelsesmengde før man har satt opp en eksperimentell oppstilling og tvinger partikkelen til å ha denne egenskapen. (Se David Peat s 82-92). Bevegelsesmengde har ikke noen uavhengig eksistens. Så selv om vi vet hvilket resultat vi vil få dersom vi rigger opp måleutstyr og måler bevegelsesmengde til partikkel 2 så har ikke denne partikkelen bevegelses mengden før måleutstyret er rigget opp. En måling som fremtvinger bevegelsesmengde for partikkel_2 vil så gjøre at posisjonsbestemmelsen av partikkel_2 blir ubestemt. Bohr godtok derfor ikke Einsteins kritikk av kvantemekanikken. Det var på den tid ikke mulig eksperimentelt å teste mellom disse tolkningen av kvantemekanikken og Bohr og Einstein kom ikke videre enn at de ble enige om å være uenige.

John Bell(1928-1991).

John Bell var en irsk fysiker som arbeidet på det europeiske forskningsentret for elementærpartikkelfysikk CERN. Bell var misfornøyd med Københavner tolkningen av kvantemekanikken og ville se på om det ikke var mulig å bygge videre på Einsteins synspunkter. Når han fikk et friår fra den vanlige jobben på CERN, fikk han tid til å konsentrere seg om denne problemstillingen. I 1963 klarte han å finne en måte der man eksperimentelt kunne teste mellom Einstein og Bohrs oppfatning av kvantemekanikken.

Dette ved at han utledet en ulikhet som burde være oppfylt dersom verden var lokalt realalistisk. Denne ulikhet kalles Bells ulikhet. Det han så på var spinnmålinger av to partikler som går fra hverandre. Hvis vi foretar målinger av spinnet på hver av partiklene kan man beregne en teoretisk sammenheng mellom måleresulatatene. Bell viste at dersom man gikk ut fra lokal realisme så skulle sammenhengen mellom målingene bli forskjellig fra det man kunne beregne ut fra kvantemekanikken. Det var altså nå mulig eksperimentelt å finne ut hvem som hadde rett Bohr eller Einstain

De eksperimentelle resultater viser at Bells ulikhet er brutt for visse vinkler. Det kvantmekaniske utledete resultat stemmer med observasjonene. Det er spesielt eksperimentene til Alan Aspect som har vist dette. Han hadde såpass avstand mellom detektorene og skiftet retning på de så hurtig, at en innflytelse fra den ene detektoren på den andre, måtte gå hurtigere enn lyset. Allikevel fikk han resultat som stemte med kvantemekanikken og som brøt med Bells ulikhet. Resultat av disse eksperimentene er at Bohrs syn på kvantemekanikken er blitt styrket. Vi ser at en måling på en partikkel umiddelbart(hurtigere enn lyset) influerer målingen på en annen partikkel såfremt de kvantemekanisk henger sammen i en tilstandsfunksjon.

Det må imidlerid nevnes at man har en teori som bygger på lokal realisme utarbeidet av David Bohm som også kan forklare observasjonene. Denne bygger på at det er en slags pilotbølge som styrer en partikkel. Denne pilotbølgen som ikke lar seg registrere og som utbrer seg umiddelbart(hurtigere enn lyset) gjør at man får de samme resultater som i kvantemekanikken. Siden denne teorien setter frem noe som ikke kan observeres(pilotbølge) uten å komme med nye forutsigelser som kan testes eksperimentelt, stiller de fleste fysikere seg noe avventende til Bohms teori. Fordelen med teorien er at den løser paradokser som Schrødingers katt. Pilotbølgen styrer fotonet slik at det utløser/ikke utløser giftampullen. Vi har imidlertid ikke noen blanding av død/levende katt som i Københavner interpretasjonen.

Scientific American Mai. 1994

En tredje interpretasjon av de observasjoner vi gjør i kvantemekanikken er flere-verden interpretasjonen. Desom en bølgefunksjon har mulighet til å kollapse til flere egentilstander, så oppstår i denne interpretasjonen nye parallelle verdener i det bølgefunksjonen kollapser. Opprinnelig har vi

| Y ñ = | Y _1ñ + | Y _2ñ + | Y _3ñ ....

Ved kollaps av bølgefunksjonen til en egentilstand vil vi den ene verden har man fått tilstanden | Y ₁ ñ i den andre verden | Y ₂ ñ og i den tredje | Y _{3 ñ} osv. Ser vi på Schrødingers katt, så vil i denne interpretasjonen verden spaltes opp til to parallelle verdener i det fotonet treffer polarisasjonsfilteret. I den ene verden blir fotonet stoppet og katten vil leve, mens fotonet i den andre verden går gjennom filteret og utløser giftampullen som dreper katten.

En interessant ting med flere- verden interpretasjonen er at de paradokser som kan oppstå i tenkte tidsreiser oppløses her. Hvis man for eksempel reiste tilbake i tiden og hindret sin far og mor å unnfange seg selv, så betyr det bare at det blir dannet en ny parallell verden der en ikke ble unnfanget. I den opprinnelige verden er man imidlertid fremdeles unnfanget, og har altså i det man hindret sin egen unnfangelse, bare skapt en parallell verden der en ikke er født, men kommet inn fra fremtiden. Dette kan jo være greit å vite dersom man skulle foreta slike reiser, noe som teoretisk kan være mulig.

I de teorier vi har for den elektromagnetiske, svake og sterke kraften virker disse ved at virituelle formidlingspartikler utveksles mellom partiklene som kreftene viker på. Med virituelle formidlingspartikler menes at disse lever på lånt energi E. Det skapes ved denne lånte energien en virituell formidlingspartikklel ved en partikkel og denne formidlingspartikklelen tilintetgjøres etter tiden D t ved en annen partikkel. Derved formidles det en kraft mellom disse to partiklene. Vi kan ta en analogi med to personer som holder kontakten ved å sende brev frem og tilbake. Brevene vil da ha den oppgaven mellom personene som de virituelle partiklene har mellom partiklene. Vi kan nevne at de partiklene det formidles krefter mellom er av typen fermioner mens formidlingspartiklene er av typen bosoner. Skal imidlertid virituelle partikler danner av lånt energi så forutsettes det at Heisenbergs usikkerhetsrelasjon ikke brytes. Dvs.

E× D t < h/4p

Her ser vi at dersom energien som trengs for dannelse av en virituell partikkel er stor så kan den bare eksistere kort tid, og rekkevidden av kraften blir liten.. Når det gjelder den elektromagnetiske kraften så har den uendelig rekkevidde. Siden D t da er uendelig stor betyr der at E » 0. Det innebærer at formidlingspartikkelen for denne kraften fotonet må være masseløs. Ser vi på den sterke kjernekraften slik den virker mellom kjernepartikler, så har den kort rekkevidde ca 1,0*10^-15 m. Regner vi med at en formidlingspartikkel tilnærmet går med lyshastigheten får vi at

Vi bruker Heisenbergs usikkerhetsrelasjon.

Løser med hensyn på E

Setter inn for D t

Bruker Einsteins masseformel

Løser med hensyn på massen

Setter vi nå inn for h, s og c finner vi at formidlingspartikkelen i dette tilfellet har en masse på ca 200 elektronmasser. Dette passer fint med formidlingspartiklene for den sterke kjernekraften. Mellom nukleoner er dette p mesoner med en masse på ca 260 elektronmasser. (Den sterke kjernekraften mellom kvarkene blir formidlet av gluoner som er masseløse og derfor har den sterke kjernekraften mellom kvarker uendelig rekkevidde.)

Ser vi på den svake kjernekraften så har den ennå kortere rekkevidde enn den sterke kjernekraften. Ved lignende resonnement finner vi at formidlingspartiklene for denne kraften W⁺, W^- og Z⁰ må ha ennå større masse enn p mesonene. På dette viset kan vi altså få et grovt overslag over massen til formidlingspartiklene.

Sender vi lys gjennom to spalter oppstår interferensfenomener. Det samme skjer dersom vi sender elektroner gjennom to spalter. Siden vi har sett at elektronet har bølgenatur er dette kanskje ikke så merkelig. Elektronbølgen går gjennom begge spaltene og interfererer. Når så elektronet treffer en skjerm blir det et lite lysblink og elektronet oppfører seg som en partikkel med bestemt utstrekning. Teller vi slike lysblink ser vi at det er steder med mange lysblink og steder der vi ikke ser lysblink på samme vis som interferensmønsteret for lys viser mørke og lyse partier.

Tilbake står spørsmålet hva elektronet egentlig er. Har elektronet passert begge spaltene samtidig eller er elektronet en partikkel som bare har passert en av spaltene i så fall hvordan får man interferens. Man kan prøve å teste dette ved å rigge opp instrumenterer slik at man kan finne ut hvilken spalte elektronet passerer. Gjør man dette forsvinner imidlertid interferensmønsteret.

Et annet oppsett er at man har et oppsett der man med 50% sannsynlighet kan sende elektronet mellom to baner. Disse banene lar man så samles på en skjerm igjen.

Det samme skjer som ved to spalter. Dersom man ikke undersøker hvilken bane elektronene går får man interferens. Undersøker man hvilken bane elektronet går forsvinner interferensmønsteret. Kan dette være fordi en måling forstyrrer bølgefunksjonen?

En oppstilling der man unngår å forstyrre bølgefunksjonen ved måling er at man lar atomer kunne gå gjennom to spalter. Før atomene går gjennom spaltene eskiterer man dem med en laser. Deretter går atomene gjennom hulrom der atomene sender ut et foton før de går gjennom spaltene. Ved hjelp av hulrommene kan man få vite hvilket hulrom atomet har passert for man kan finne hvilket hulrom som inneholder et foton. Dette kan man gjøre etter at atomet har truffet skjermen

En slik oppstilling gjør at vi ikke forstyrrer bølgefunksjonen ved en eventuell måling for å finne ut hvilken vei atomet har gått. Denne oppstillingen gjør imidlertid at vi ikke får interferens.

Hvis vi åpner veggen mellom hulrommene slik at vi ikke kan finne hvilket hulrom som inneholder fotonet så fremkommer igjen interferensmønsteret

Et interessant tilfelle er dersom man åpner veggen mellom hulrommene etter at elektronet har truffet skjermen. Man visker da ut informasjonen om hvilken vei elektronet har gått. Det viser seg da at man har 50% sannsynlighet for ikke å registre fotonet fordi det ble absorbert av veggen. Vi har og 50% sannsynlighet for å få registrert fotonet. I begge tilfeller vet vi ikke hvilken vei det gikk. Setter vi nå en grønn flekk der vi får et lysblink på skjermen uten fotonregistrering og en rød flekk der vi får lysblink og fotonregistering, så får vi ikke noen total interferens da veggen mellom hulrommene var lukket når atomene traff skjermen. Ser vi imidlertid på de røde og grønne flekkene separat så viser de interferens. De røde og grønne flekkene viser de to mulighetene vi har for ikke å vite hvilket hulrom atomet passerte. For hver av disse mulighetene får vi altså et interferensmønster.

Alt dette kan vi forutsi ut fra kvantemekanikkens formalisme. En annen sak er hvordan vi kan tolke dette. Er bølgefunksjonen en pilotbølge som styrer atomet/elektronet som Bohm sier. Er den noe ubestemt som bare får definitive verdier i interaksjon med et måleapparat som Bohr sier eller er den noe som først får definitive verdier når noe bevisst registrerer en egentilstand. Dette siste var posisjonen til Von Neumann som laget den endelige formaliseringen av kvantemekanikken. Hva med flere verden interpretasjonen i dette bildet. Man har ikke noen endelig avklaring av dette ennå. Men med Bells ulikhet har det blitt ny interesse for å avklare hvordan man kan tolke kvantemekanikken og det er nå en aktiv forskning på dette feltet.

Bells arbeide bygger på at man måler spinnet til en partikkel. Ved måling av spinn til et elektron eller et foton viser det seg at resultatet kan bli +1/2 eller -1/2 for elektronet. For et foton kan man få resultatet 1 eller 0. La oss i det følgende bare se på elektronet(vi kan ta helt tilsvarende resonnement for fotonet) og kalle resultatet +1/2 for opp og resultatet -1/2 for ned. Måler man spinnet i en retning A kan altså vi få resultat ± 1/2. I andre retninger B og C kan også resultet bli ± 1/2. I en lokalt realistisk teori vil vi si at partikkelen innehar disse egenskapene, selv når den ikke blir målt. La nå N(A+B-) stå for antallet av partikler som vi ved måling finner har spinn opp i A-retnigen og spinn ned i B-retningen. Blant disse partiklene har noen spinn opp i C-retnigen (C+) og noen har spinn ned i C-retningen (C-). Vi har da

N(A+B-) = N(A+B-C+) + N(A+B-C-)

Nå er

N(B-C+) ³ N(A+B-C+) og N(A+C-) ³ N(A+B-C-)

Det gir

N(A+B-) = N(A+C-) + N(B-C+)

I praksis kan vi bare måle en egenskap for en partikkel. Har vi imidlertid et par av partikler der målinger for samme egenskap alltid gir motsatt resultat, kan vi finne to egenskaper ved at vi på den ene partikkelen måler for eksempel spinn i A-retningen og på den andre i paret måler spinnet i B retningen. Vi har da at antallet av partikler med egenskapen

N(A+B-) = n(A+B+)

der siste egenskap er målt på den andre partikkelen i paret. Derved får vi Bells ulikhet

n(A+B+) = n(A+C+) + n(B+C+)

Denne ulikheten er utledet under forutsetning av lokal realisme og at en måling på en partikkel ikke vil influerere på målingen av den andre partikklen.

Før man har gjort noen målinger har man et fotonpar a,b som representerer en ikke separerbar enhet gitt ved bølgefunksjonen(tilstandsvektoren) Y der retningene x og y er vinkelrett på hverandre.

| Y ñ = (1/Ö 2)(| x_{Añ |} x_Bñ + | y_{Añ |} y_Bñ )

Når man gjør målinger med analysator A som er stilt i vinkelen f _A og analysator B som er stilt i vinkelen f _B , må man omforme til egentilstandene | f _A ñ ,| f _A + p /2ñ ,

| f _Bñ ,| f _B + p /2ñ . Her har vi generelt at

| f + p /2ñ

| xñ = cos f | f ñ - sin f | f + p /2ñ | yñ

| yñ = sin f | f ñ + cos f | f + p /2ñ | f ñ

f

| xñ

Setter vi nå inn etter denne regelen får vi

| Y ñ = (1/Ö 2)[( cos f _{A| f Añ} - sin f _{A| f A} + p /2ñ )( cos f _B | f _B ñ - sin f _B | f _B + p /2ñ )

+ (sin f _{A| f Añ} + cos f _{A| f A} + p /2ñ )(sin f _B | f _B ñ + cos f _B | f _B + p /2ñ )]

| Y ñ = (1/Ö 2)(cos f _A cos f _B | f _Añ | f _Bñ - cos f _A sin f _{B| f Añ | f B} + p /2ñ

- sin f _A cos f _B | f _A + p /2ñ | f _Bñ + sin f _A cos f _{B | f A} + p /2ñ | f _B + p /2ñ

+ sin f _A sin f _B | f _Añ | f _Bñ + cos f _A cos f _B | f _{Añ | f B} + p /2ñ

+ cos f _A cos f _B | f _A + p /2ñ | f _Bñ + cos f _A cos f _{B | f A} + p /2ñ | f _B + p /2ñ

| Y ñ = (1/Ö 2)[ ( cos f _A cos f _B + cos f _A cos f _B) | f _Añ | f _Bñ

- ( cos f _A sin f _B - sin f _A cos f _B) | f _{Añ | f B} + p /2ñ

- ( sin f _A cos f _B - cos f _A sin f _B) | f _A + p /2ñ | f _Bñ

+ ( sin f _A sin f _B + cos f _A cos f _B) | f _A + p /2ñ | f _B + p /2ñ

| Y ñ = (1/Ö 2)[ cos (f _A - f _B) | f _Añ | f _Bñ

- sin (f _B - f _A) | f _{Añ | f B} + p /2ñ

- sin (f _A - f _B) | f _A + p /2ñ | f _Bñ

+ cos (f _A - f _B) | f _A + p /2ñ | f _B + p /2ñ

| Y ñ = (1/Ö 2)[ cos (f _A - f _B) | f _Añ | f _Bñ

- sin (f _B - f _A) | f _{Añ | f B} + p /2ñ

+ sin (f _B - f _A) | f _A + p /2ñ | f _Bñ

+ cos (f _A - f _B) | f _A + p /2ñ | f _B + p /2ñ

Kvadratet av hver amplitude representerer sannsynligheten for observasjon. Sannsynligheten for å oppdage et foton a polariset en vinkel f _A og foton b polarisert en vinkel f _B er således. [ (1/Ö 2)[ cos (f _B - f _A) ] ²

Ved konvensjon skriver vi responsen til detektor A til et foton i tilstand | f _Añ som

a = 1 og responsen til detektor A til et foton i tilstand | f _A + p /2ñ som a = -1. Tilsvarende for b for detektor B. Vi skal nå finne middelverdien av responsen til detektorene A og B dvs. á a b ñ _AB

Vi har da

| f _Añ | f _Bñ gir a = 1 og b = 1 derved er a b = 1 og sannsynligheten for dette er P₊₊ = 1/2 cos²(f _B - f _A)

| f _{Añ | f B} + p /2ñ gir a = 1 og b = -1 derved er a b = -1 og sannsynligheten for dette er P_+- = 1/2 sin²(f _B - f _A)

| f _A + p /2ñ | f _Bñ gir a = -1 og b = 1 derved er a b = -1 og sannsynligheten for dette er P_-+ = 1/2 sin²(f _B - f _A)

| f _A + p /2ñ | f _B + p /2ñ gir a = -1 og b = 1 derved er a b = -1 og sannsynligheten for dette er P_-- = 1/2 cos²(f _B - f _A)

Middelverdien av á a b ñ _AB = P₊₊ - P_+- - P_-+ + P_--.

á a b ñ _AB = (1/2)cos²(f _B - f _A)- (1/2)sin²(f _B - f _A)

- (1/2)sin²(f _B - f _A)- (1/2)cos²(f _B - f _A)

á a b ñ _AB = cos²(f _B - f _A)- sin²(f _B - f _A)

á a b ñ _AB = cos 2(f _B - f _A)

Dette resultat skiller seg fra Bells ulikhet Det er utledet på grunnlag av at bølgefunksjonene for de to partiklene ikke kan skilles ad.

Se

Se Scientific American Nov. 1979

Se ellers Charles Ruhla: The Physics of Chance

Scientific American Mars. 1994